Artykuł został opublikowany także na portalu JustPasteIt (dawniej Eioba).
Wersja z 2024-10-28
MATEMATYKA i LOGIKA
Jaki może być stosunek do siebie dwóch zdarzeń (w rachunku prawdopodobieństwa) lub zakresu dwóch nazw (w logice)?
Zdarzenia / zakresy mogą się (I) zawierać (jedno w drugim), (II) wykluczać, (III) krzyżować. W książkach do matematyki zwykle mówi się tylko o wykluczaniu, ale możliwości są 3. Zawieranie się to pojęcie dość oczywiste. Wykluczanie się oznacza, że nie ma części wspólnej, a krzyżownanie, że jest część wspólna, a obok niej obszary „tylko A” i „tylko B”.
Poza tym zdarzenia, które się nie zawierają jedno w drugim, mogą się (a) dopełniać lub (b) nie dopełniać. Dopełniają się, jeśli poza nimi nie ma już niczego innego.
Daje to łącznie 7 różnych możliwości, które teraz omówię. W podręcznikach nie tylko nie omawia się wszystkich, ale wręcz popełnia błędy.
Dla ilustracji w odniesieniu do zdarzeń będziemy rozważać pojedynczy rzut kostką, a w odniesieniu do zakresów nazw znane wam pojęcia z biologii.
1. Zdarzenia A i B są równoważne (jest to podtyp zawierania się (I), tzw. zawieranie niewłaściwe). Np. zdarzeniami równoważnymi są: A – wyrzucono liczbę oczek co najwyżej 3, B – wypadła liczba oczek mniejsze niż 4. Równoważne pojęcia to np. „człowiek” oraz „istota rozumna” (jeśli przyjmiemy, że kosmici nie istnieją i że inne zwierzęta nie mają rozumu). Oznacza to, że (przy podanych założeniach) każdy człowiek jest istotą rozumną, a każda istota rozumna jest człowiekiem.
2. Zdarzenie A jest nadrzędne wobec B (jest to podtyp zawierania się (I), tzw. zawieranie właściwe). Np. A – wyrzucono parzystą ilość oczek, B – wyrzucono ilość oczek podzielną przez 4 (co oznacza, że wyrzucono 4). „Ssak” to pojęcie nadrzędne wobec „człowiek”. Oznacza to, że każdy człowiek jest ssakiem, ale nie każdy ssak jest człowiekiem.
3. Zdarzenie A jest podrzędne wobec B (jest to właściwie ta sama sytuacja, co w pkt. 2, ale analizowana z innej perspektywy). Np. A – wyrzucono 1, B – wyrzucono nieparzystą ilość oczek. „Ssak” to pojęcie podrzędne wobec „kręgowiec”. Oznacza to, że każdy ssak jest kręgowcem, ale nie każdy kręgowiec to ssak.
4. Zdarzenia A i B są sprzeczne, jeśli się wykluczają i dopełniają, czyli gdy nie ma innych zdarzeń (jest to podtyp IIa). W podręcznikach matematyki sytuacja te BŁĘDNIE nazwana jest przeciwieństwem, a zbiór sprzeczny wobec A oznaczany jest A'. Np. A – wyrzucono parzystą liczbę oczek, B – wyrzucono nieparzystą liczbę oczek. Sprzeczne są pojęcia „ssak” i „niessak”. Sprzeczne są też pojęcia „mały” i „niemały”.
5. Zdarzenia A i B są przeciwne, jeśli się wykluczają, ale nie dopełniają (czyli jest zupełnie inaczej niż sugerują podręczniki matematyki; jest to podtyp IIb). Przeciwne są (tak naprawdę, nie według tego, czego was uczą na matematyce) zdarzenia A – wyrzucono liczbę nieparzystą, B – wyrzucono liczbę podzielną przez 4. Żadna liczba nieparzysta co prawda nie jest podzielna przez 4, ani żadna liczba podzielna przez 4 nie jest nieparzysta, ale też są takie, które ani nie są nieparzyste, ani nie są podzielne przez 4 (np. 2). Przeciwnymi pojęciami są „ptak” i „ssak” (nie ma zwierząt, które byłyby jednocześnie ptakami i ssakami, ale też są takie, które nie są ani jednymi, ani drugimi). Przeciwnymi pojęciami są „duży” i „mały”. Przy okazji, może chcielibyście poznać podstawy esperanta, sztucznego języka wymyślonego przez Polaka (żydowskiego pochodzenia) Ludwika Zamenhofa, którym posługuje się między 2 a 10 milionów ludzi na świecie (według różnych szacunków). W esperancie „granda” znaczy „duży”, „malgranda” to jego przeciwieństwo, czyli „mały”, natomiast „negranda” to jego zaprzeczenie (sprzeczność), czyli „nieduży”. Tak tworzy się zaprzeczenia i przeciwieństwa każdego przymiotnika w tym języku (np. dika – gruby, maldika – chudy, nedika – niegruby; nova – nowy, malnova – stary, nenova – nienowy, czyli stary lub w średnim wieku).
6. Zdarzenia A i B są podprzeciwne (pewnie nie słyszeliście takiego słowa), jeśli się nie wykluczają ani nie zawierają w sobie (czyli się krzyżują), ale się dopełniają. Np. A – wyrzucono parzystą liczbę oczek, B – wyrzucono mniej niż 6 oczek. Zauważmy, że każde zdarzenie elementarne musi należeć co najmniej do jednego z tych zbiorów, i że istnieją zdarzenia, które należą tylko do A, tylko do B, a także takie, które należą i do A, i do B. Podprzeciwne są też terminy „ssak” i „zwierzę nierozumne”, o ile rozpatrujemy tylko pojęcia określające zwierzęta. Istnieją ssaki, które nie są nierozumne (człowiek), istnieją zwierzęta nierozumne, które nie są ssakami (np. wróbel), ale istnieję też zwierzęta, które są ssakami i są nierozumne (np. pies). Nie ma natomiast takich, które nie są ssakami, ale nie są też nierozumne (jeśli założyć jak wyżej, że tylko człowiek jest rozumny).
7. Zdarzenia A i B są niezależne, jeśli się nie wykluczają ani nie zawierają w sobie (czyli się krzyżują) i się nie dopełniają. Niezależne są np. zdarzenia A – wyrzucono parzystą liczbę oczek, B – wyrzucono liczbę oczek mniejszą niż 5. Zauważmy, że mamy tu zdarzenia elementarne należące tylko do zdarzenia A (6), tylko do zdarzenia B (1, 3), do obu zdarzeń jednocześnie (2, 4) i do żadnego z nich (5). Niezależne pojęcia to np. „mężczyzna” i „adwokat”. Są mężczyźni nieadwokaci, są adwokaci niemężczyźni (adwokatki), są mężczyźni adwokaci i są wreszie kobiety nieadwokatki.
Jak zauważyliście, w książkach do matematyki sprzeczoność pomieszano z przeciwieństwem. Jest to oczywiście sytuacja skandaliczna, którą należy napiętnować, a przynajmniej zdawać sobie sprawę, że uczą was źle. Logicy wypracowali dla tych pojęć inne znaczenia niż podają w książkach do matematyki.
Jeśli ktoś jeszcze nie wie, informuję, że o takich właśnie sprawach piszę książkę. Jeśli czas pozwoli, za jakiś czas ją skończę i spróbuję wydać. Mam nadzieję, że kupicie :)
Na koniec jeszcze dla uporządkowania:
Dwoma rodzajami wykluczania się są sprzeczność i przeciwieństwo.
Dwoma rodzajami krzyżowania się są podprzeciwieństwo i niezależność.
Dwoma rodzajami dopełniania się są sprzeczność i podprzeciwieństwo.
Przeciwieństwo i niezależność oznaczają brak dopełniania się.
Równoważność, nadrzędność i podrzędność to rodzaje zawierania się.
Przy zawieraniu się nie rozpatrujemy, czy mamy do czynienia z dopełnianiem się, czy też nie.
Nazwa to w logice określenie zbioru jakichś przedmiotów, mniej więcej to samo znaczy, co w życiu codziennym. Nazwą jest np. „student”, albo „student UR w Krakowie” (czyli nie chodzi o jeden wyraz, ale o całe ścisłe określenie). Załóżmy, że rozpatrujemy zbiór wszystkich ludzi na Ziemi. Nazwa w sensie logicznym ma sens wówczas, jeśli o każdym z tych ludzi można powiedzieć, czy należy do zbioru objętego daną nazwą czy też do niego nie należy. Załóżmy, że o każdym człowieku da się powiedzieć albo że jest studentem, albo że nie jest studentem (nie ma trzeciej możliwości). Jeśli tak jest, to „student” jest nazwą.
Zdanie to w logice całkiem coś innego niż zdanie w gramatyce. Przede wszystkim (materiał do mojej książki!) zdanie logiczne to po łacinie propositio (choć u nas propozycja to całkiem coś innego!), podczas gdy zdanie gramatyczne to sententio. Mówiąc najprościej, zdaniem logicznym jest każda wypowiedź, o której da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest prawdziwa czy fałszywa.
Zdaniem jest „Wisła to rzeka w Polsce” i jest to zdanie prawdziwe. Zdaniem jest też „Wołga to rzeka w Polsce” i jest to zdanie fałszywe. Zdaniem w sensie propositio nie jest natomiast „Pojedźmy do Wiednia”, bo tu nawet nie wiadomo, co miałoby znaczyć ustalenie, czy jest prawdziwe czy fałszywe. Zdaniem logicznym nie jest też żadne pytanie, bo pytanie nie może być prawdziwe ani fałszywe. Są nawet przypadki, gdy nie mamy pojęcia, czy coś jest prawdą czy fałszem i nie możemy obecnie tego ustalić, a mimo to jest to zdanie logiczne, np. „Istnieją kosmici”. Nie wiemy, czy to prawda czy fałsz, ale teoretycznie możemy się tego dowiedzieć, i to wystarczy.
Zdania logiczne możemy łączyć spójnikami w taki sposób, by tworzyć relacje międzyzdaniowe. Np. jeśli powiem „Nowak jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem” (zakładając, że wiadomo, o kim mowa), to taka relacja międzyzdaniowa będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy faktycznie każdy z nich jest lekarzem.
Ale gdy powiem Nowak jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem, to taka relacja będzie prawdziwa, choćby tylko jeden z nich był lekarzem (ale któryś musi być).
Relacji międzyzdaniowych w teorii jest 16, ale nie wszystkie mają odpowiadające im spójniki i nawet nie wszystkie są nazwane. O dwóch uczyłaś się na matematyce, tzn. o koniunkcji i o alternatywie.
Koniunkcja jest wówczas, gdy używamy spójnika „i”, i zachodzi tylko wówczas, gdy oba zdania są prawdziwe. Dlatego mówi się o niej także współprawdziwość.
Alternatywa jest wówczas, gdy używamy spójnika „lub”, i zachodzi wówczas, gdy choć jedno zdanie jest prawdziwe (czyli nie zachodzi tylko wówczas, gdy oba są fałszywe). Dlatego o alternatywie mówi się też niewspółfałszywość. W sumie nie wiem dlaczego nie używa się częściej tego terminu, bo jest on przecież o wiele bardziej zrozumiały.
No dobra, ale to dopiero dwie relacje, a jest szesnaście :)
Równoważność (inaczej z łaciny ekwiwalencja) zachodzi, gdy oba zdania mają tę samą wartość logiczną: oba są prawdziwe lub oba fałszywe. Używa się tu spójnika „wtedy i tylko wtedy”, w skrócie „wtw” (nie mylić z wtf). Potocznie skracamy to do „gdy” lub „jeśli”, ale to niepoprawne logicznie. Np. „pójdę na spacer wtedy i tylko wtedy, gdy będzie słonecznie na dworze”. Będzie to prawdą, jeśli: pójdę na spacer, gdy będzie słonecznie, natomiast nie pójdę na spacer, gdy nie będzie słonecznie.
Mamy też alternatywę rozłączną, czyli ekskluzję. Tu w logice spójnikiem jest „albo”, zwykle podwojone „albo... albo...”. Relacja taka zachodzi tylko wówczas, gdy dokładnie jedno zdanie jest prawdziwe, a jedno fałszywe. Np. gdy ktoś powie „Kowalski był albo u Nowaka, albo u Malinowskiego”, to znaczy, że na pewno był u któregoś z nich, ale tylko u jednego. Potocznie nie odróżnia się alternatywy (zwykłej) od alternatywy rozłącznej, i stąd bywają liczne problemy... Dla nas „lub” znaczy na ogół to samo, co „albo”, ale dla logika nie jest to to samo.
Jest jeszcze jedna relacja podobnego typu, i stwarza ona jeszcze więcej problemów. Nie ma nawet ustalonego spójnika! W starszych podręcznikach logiki używano dla niej pojedynczego „albo”, co już w ogóle było mylące. Obecnie preferuje się użycie spójnika „bądź”, często podwojonego „bądź... bądź...”, albo nawet „co najwyżej... bądź...”, i to jest bardziej zgodne z sensem. Relacja ta nazywa się po polsku dysjunkcją (niektórzy piszą dyzjunkcja), ale przejrzyściej byłoby ją nazwać niewspółprawdziwością. Chodzi o coś takiego: „Franek był bądź w sklepie, bądź u kolegi”, co oznacza, że na pewno nie był w obu tych miejscach. Ale mógł być w sklepie, mógł być u kolegi, ale też mógł być np. u kochanki, albo jeszcze gdzieś indziej.
Angielski nie odróżnia „lub”, „albo” i „bądź”, bo w każdym wypadku jest „or”. I pewnie dlatego wszystko im się pomieszało. Disjunction to po ichniemu alternatywa (LUB), alternation to u nich ekskluzja (ALBO, często mówią też exclusive alternation lub nawet exclusive disjunction), wreszcie non-conjunction to u nich dysjunkcja (BĄDŹ), ale mówią też na nią Sheffer’s disjunction albo jeszcze ciekawiej: Sheffer’s stroke (ponieważ znaczy się ją pionową kreską: p | q). Pomieszanie z poplątaniem... Oni sami się w tym plączą, dlatego często używają też terminów „relacja OR” (alternatywa, LUB), „relacja XOR” (ekskluzja, ALBO) i „relacja NAND” (dysjunkcja, BĄDŹ).
A jak już jesteśmy przy angielskich spójnikach... koniunkcję (I) oznacza się u nich AND (co zrozumiałe), a ekwiwalencję (WTW) u nich opisuje się jako XNOR lub IFF i nazywa equivalency lub biconditional.
Mamy jeszcze relację binegacji, której spójnikiem jest ANI (zwykle podwojony). Po angielsku non-disjunction lub joint denial, oznaczane też NOR. Jest to inaczej współfałszywość, czyli relacja prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania są fałszywe. Polska gramatyka wymaga przeczącej formy czasownika, co jest mylące: „nie byłem ani w parku, ani w ogrodzie” jest prawdziwe tylko wówczas, gdy byłem gdzieś indziej, ale w żadnym z tych dwóch miejsc. Po angielsku jest zgodniej z logiką: „I was neither in the park nor in the garden”.
Koniunkcja, alternatywa, ekwiwalencja, ekskluzja, dysjunkcja, binegacja to dopiero 6 relacji, a co z pozostałymi 10-ma?
Cztery kolejne to implikacje, po angielsku zwane „material implications”. Są to relacje niesymetryczne, tzn. zależą od kolejności zdań, i tym się różnią od poprzednich sześciu.
Implikacja prosta utworzona jest w logice spójnikiem złożonym „jeżeli... to...”, ale tak naprawdę niekoniecznie znaczy to samo, co tego typu zdanie w języku codziennym. Implikacja prosta (często nazywana po prostu implikacją, co oczywiście nie jest logiczne) oznacza, że albo oba zdania są prawdą, albo pierwsze jest fałszem, a drugie może mieć dowolną wartość. Np. powiem tak: „jeśli będzie słonecznie, to pójdę na spacer”. Było pochmurnie, i poszedłem na spacer. Ale mimo to powiedziałem prawdę, bo przecież nie powiedziałem, co zrobię, jeśli nie będzie słonecznie. Po angielsku używa się normalnie konstrukcji if... then..., ale w logice często pisze inaczej: ... IMPLY ..., tworząc w ten sposób nowy spójnik (podobnie jak NAND dla dysjunkcji jest to wymysł logików). Po polsku też tak próbowano: „będzie słonecznie implikuje że pójdę na spacer”. Brzmi sztucznie, ale wyraża poprawną treść.
I właśnie... implikacja prosta czasem zwana jest też po ang. subimplication, a po polsku podporządkowaniem albo wynikaniem. Ale jest też implikacja odwrotna, po angielsku converse implication, której spójnikiem jest właśnie jeśli (po ang. IF), bo najpierw mówimy to, co się stanie, a potem dopiero warunek. Jeśli powiemy „pójdę na spacer jeśli będzie słonecznie”, to logik rozumie przez to, że wcale nie musi być słonecznie, bym poszedł na spacer. Ale jeśli będzie słonecznie, to na pewno pójdę. A co jeśli nie będzie słonecznie? Wtedy nie wiadomo. Implikacja odwrotna jest prawdziwa zawsze wtedy, gdy drugie zdanie jest fałszywe lub wtedy, gdy oba są prawdziwe.
I właśnie takie zdanie to superimplication. A wykładowca na tym biblijnym kursie pomylił...
Są jeszcze dwie inne implikacje, będące zaprzeczeniem tych dwóch pierwszych. Prawdę mówiąc, nawet nie mają ustalonych nazw polskich czy angielskich. Chodzi o relacje typu „nieprawda, że jeśli .... to ...” oraz „nieprawda, że .... jeśli ....”. Pierwsza jest prawdziwa tylko wtedy, gdy pierwsze zdanie jest prawdziwe, a drugie fałszywe, a druga jest prawdziwa tylko wtedy, gdy pierwsze jest fałszywe, a drugie prawdziwe.
No to mamy 10 relacji, a gdzie pozostałe 6? Są dość abstrakcyjne i nie mają nawet nazw. Sytuacja 1 jest taka, że całość wypowiedzi jest zawsze prawdą, bez względu na to, które zdanie jest prawdziwe i czy którekolwiek. Pomysł egzotyczny. Sytuacja 2 jest niejako odwrotna: całość zawsze jest fałszem (czyli można rzec taka relacja nigdy nie zachodzi). Sytuacja 3: relacja jest prawdziwa, gdy pierwsze zdanie jest prawdziwe, a drugie nie ma znaczenia. Sytuacja 4: pierwsze fałszywe, drugie bez znaczenia. Sytuacja 5: drugie prawdziwe, pierwsze bez znaczenia. Sytuacja 6: drugie fałszywe, pierwsze bez znaczenia. To wszystko są naprawdę relacje czysto abstrakcyjne.
W sumie z 16 teoretycznie możliwych relacji międzyzdaniowych tylko 10 ma sens. A na kursie biblijnej logiki wykładowca utrzymuje, że sensownych jest 7 relacji i to niekoniecznie spośród tych 10 :-)
Jemu raczej chodziło o to, że w określonych sytuacjach można wnioskować o prawdziwości drugiego zdania, jeśli wiemy, czy pierwsze jest prawdziwe czy fałszywe. To wbrew pozorom jest całkiem inny problem logiczny, i tak naprawdę jest to pochodna problemu zakresu nazw, a nie prawdziwości relacji międzyzdaniowych. Ale cóż... kurs biblijny... Z tym że faktycznie, podejście wykładowcy da się obronić, ale tylko pod pewnymi warunkami.
Załóżmy, że mamy dwa zdania, i każde z nich może być prawdą lub fałszem. Wiemy, jaka relacja zachodzi między nimi. Pytanie brzmi, co możemy powiedzieć o zdaniu drugim, jeśli poznamy wartość logiczną (prawda czy fałsz) zdania pierwszego. Trochę to zawikłane i tak naprawdę wynika z zupełnie innego problemu logiki: z relacji nazw. Wpisz w Google „term relations” lub „name relations”, „name range relations” lub nawer „relations between name ranges”, a zobaczysz, że niczego nie znajdziesz! Ale gdy wpiszesz po polsku „relacje między zakresami nazw”, to powinno coś się od razu pokazać.
W każdym razie takich stosunków między zakresami nazw jest siedem, i dwa z nich poznałaś na matematyce, choć terminy, których użyto, były błędne :) Absurd do mojej książki oczywiście!
Najpierw wprowadźmy pojęcie przestrzeni nazw (w rachunku prawdopodobieństwa jest to przestrzeń zdarzeń symbolizowana literą omega). Chodzi bowiem o to, że każda nazwa ma swoje zaprzeczenie (negację). Mamy np. nazwy „ssak” i „nie-ssak”. Dla dalszych rozważań ważne jest, by jakoś ograniczyć, co może być owym „nie-ssakiem”. Jeśli przestrzenią nazw będą kręgowce, to nie-ssakiem będzie ptak, ryba, ale już nie owad. Jest to racjonalne podejście, bo co nam da rozważanie jako nie-ssaka np. Księżyca, kalkulatora czy miłość. Są to przecież także nazwy, ale tak odległe od nazwy „ssak”, że rozważania nad nimi nie mają uzasadnienia. Stąd właśnie pojęcie przestrzeni nazw, poza którą nie wychodzimy w ogóle. Jeśli umówimy się, że analizujemy tylko kręgowce, to wtedy pojęcie „nie-ssak” nabiera jakiegoś sensu.
Zresztą, tak bywa w praktyce. Zaprzeczeniem terminu „kręgowiec” jest często „bezkręgowiec”. Ale przecież drzewo nie jest bezkręgowcem, ani nawet borowik nie jest bezkręgowcem! Po prostu taka zaprzeczona nazwa ma sens, jeśli wcześniej umówimy się, że rozważamy tylko zwierzęta, czyli gdy wprowadzamy przestrzeń nazw „zwierzęta”.
Dokładnie tak samo jest w rachunku prawdopodobieństwa. Zdarzenie „wypadła liczba oczek inna niż 6” ma sens tylko wtedy, gdy wcześniej umówimy się, że rozpatrujemy rzut sześcienną kostką, czyli gdy mogła wypaść liczba naturalna od 1 do 6, i żadna inna. Stąd pojęcie przestrzeni nazw i przestrzeni zdarzeń, które są bardzo potrzebne.
W rachunku nazw w logice robimy jeszcze jedno ograniczenie. Jeśli bowiem ustalimy przestrzeń nazw np. jako „kręgowce”, to samą nazwą „kręgowce” nie będziemy się już zajmować. Porównując dwa zdarzenia, też nie warto zajmować się zdarzeniem pewnym czyli wypełniającym całą przestrzeń zdarzeń. Chcemy też, by zaprzeczenie nazwy też nie było równe przestrzeni nazw, czyli by sama nazwa nie była pusta. Podobnie w rachunku prawdopodobieństwa możemy oczywiście rozpatrywać zdarzenia niemożliwe, ale już gdy mamy mówić o relacjach między nimi a jakimiś innymi zdarzeniami, to byłoby to mało racjonalne. Umówmy się więc, że jeśli mamy porównywać zakresy dwóch nazw, to żadna z nich nie jest nazwą pustą, i mało to, zaprzeczenia (negacje) tych nazw też nie są puste. Dla przestrzeni „kręgowce” dobrą nazwą do porównań są „ssaki”, bo takie istnieją wśród kręgowców, a ponadto istnieją też jakieś „nie-ssaki”. Złą nazwą byłyby „owady”, bo w przestrzeni „kręgowce” byłaby to nazwa pusta. Złą nazwą byłyby też „nie-kręgowce”, bo przecież wśród kręgowców takich nie ma.
Pierwszą relacją nazw, jeśli przyjąć kolejność taką, jak na tym kursie biblijnym, jest niezależność. Rozpatrujmy przestrzeń „ludzie”: niezależne nazwy to na przykład „kobieta” i „bioinżynier”. Są kobiety bioinżynierki, są kobiety niebioinżynierki, są bioinżynierowie niekobiety, są też tacy, co ani nie są kobietami, ani bioinżynierami. Z faktu, że ktoś jest bioinżynierem, nie można wywnioskować, że jest kobietą. Ale też z tego, że ktoś nie jest bioinżynierem, nie można wywnioskować, że jest kobietą. I odwrotnie, z fakty że ktoś jest kobietą, nie można wywnioskować, czy jest bioinżynierem, i wreszcie z faktu, że ktoś nie jest kobietą, też niczego nie można wywnioskować na temat tego, czy jest bioinżynierem.
Na kursie wykładowca mówi nie o nazwach, ale o zdaniach. Problem, który stawia, jest jednak identyczny. Możemy przecież zamiast nazw rozpatrywać dwa zdania: „Ta osoba jest kobietą” i „Ta osoba jest bioinżynierem”. Relacja łącząca te zdania to właśnie niezależność, która jest zawsze prawdziwa. Gdy już ustalimy prawdziwość jednego z tych zdań w konkretnym przypadku, nie będziemy w stanie ustalić prawdziwości drugiego zdania tylko na tej podstawie. Zauważ, że w teorii relacji międzyzdaniowych mamy tu wypadek relacji nienazwanej, która jest zawsze prawdziwa i nie zależy od wartości logicznej zdań, które ją tworzą. Już więc widać, że te 7 relacji to nie są tylko te relacje wyżej omówione w liczbie 10 nazwanych. Jedna z rlacji między nazwami, niezależność, nie ma swojego nazwanego odpowiednika wśród relacji między zdaniami.
Okazuje się też, że przy badaniu zakresu nazw musimy odrzucić cztery nazwane relacje między zdaniami, bo nie spełniają one narzuconego wyżej warunku: ani nazwa, ani jej zaprzeczenie nie mogą być puste. A taka na przykład koniunkcja jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe. Gdy jedno będzie fałszywe, relacja na pewno nie zajdzie, więc nie nadaje się do badania zakresów nazw. Binegacja też się nie nadaje, bo z kolei nigdy nie zajdzie, gdy choć jedno ze zdań jest prawdziwe (a umówiliśmy się, że zarówno nazwa, jak i jej negacja nie mogą być puste). Odrzucić musimy też zaprzeczenia implikacji prostej i odwrotnej, bo one są prawdziwe tylko w jednym przypadku i nie mogą być prawdziwe, gdy jedno ze zdań będzie miało inną wartość logiczną niż ta istotna. Odrzucimy także nienazwane relacje z wyjątkiem tej jednej (zawsze prawda, co prowadzi do niezależności nazw), a więc relacje zawsze prawdziwych w wypadku prawdy lub fałszu pierwszego bądź drugiego zdania i relacji stale fałszywej.
Niezależność to inaczej independencja (z łaciny). Czymś przeciwnym do niej będzie ekwiwalencja, zwana też po polsku rozmaicie: zamiennością, pokrywaniem się nazw, równoważnością nazw. Jest to relacja wyszczególniona jako druga na kursie. Przykładem niech będzie „ssak” i „kręgowiec, który w młodym wieku odżywia się mlekiem matki”. Obie te nazwy połączone są relacją zamienności. W logice kursu: jeśli powiemy „to jest noga” (u człowieka) i okaże się to prawdą, to automatycznie wywnioskujemy, że zdanie „to jest kończyna dolna” też jest prawdziwe. A jeśli okaże się, że ktoś miał na myśli np. rękę i zdanie pierwsze okazało się fałszem, to i drugie też musi być fałszywe. Inaczej mówiąc, w przeciwieństwie do relacji niezależności, przy zamienności z wartości logicznej jednego zdania zawsze możemy wywnioskować wartość logiczną drugiego zdania, i będzie ona taka sama.
Trzecia relacja między zakresami nazw to kontradykcja, czyli po polsku sprzeczność. Problem polega na tym, że w podręcznikach matematyki nazywana jest ona przeciwieństwem, a to jest nieprawda. Oczywiście temat do mojej książki, i nie tylko, z tym należałoby coś zrobić i podręczniki zmienić. Sprzeczność nazw ma bowiem miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy jedna jest negacją drugiej. Inaczej mówiąc, albo przedmiot można określić jedną nazwą, albo drugą i nie ma innej możliwości. Np. jeśli to zwierzę, to albo kręgowiec, albo bezkręgowiec. Jeśli kręgowiec, to albo stałocieplny, albo zmiennocieplny (zakładając, że ściśle zdefiniujemy każde z tych pojęć). Sprzeczność łączy też nazwy „tułów” i „członek ciała”, jeśli ten ostatni zdefiniujemy jako wszystko, co nie jest tułowiem (głowa, kończyna). Najczęściej jednak relacja sprzeczności wygląda tak: „ssak” – „nie-ssak”, „równoległobok” – „nie-równoległobok”, „miasto portowe” – „miasto nieportowe” (w przestrzeni miast, czyli np. bez rozpatrywania wsi). Nietrudno zgadnąć, że sprzeczność to w zasadzie ekskluzja czyli alternatywa rozłączna (albo... albo...), tylko pojęcie to odnosi się do czegoś innego. Z prawdziwości jednego ze zdań połączonych takim związkiem można wnioskować od razu o fałszywości drugiego zdania, a z fałszywości jednego ze zdań można wnioskować o prawdziwości drugiego.
Czwarta relacja między zakresami nazw to przeciwieństwo (ang. contrariety). Nazwą tą błędnie określono sprzeczność w podręcznikach matematyki, w tym, co odnosi się do rachunku prawdopodobieństwa. Przeciwne nazwy to „długi” i „krótki”, sprzeczne to „długi” i „niedługi” (inną parą sprzecznych nazw są „krótki” i „niekrótki”). Chodzi bowiem o to, że oprócz przedmiotów długich i krótkich są jeszcze średnie. Niekiedy mówi się (i chyba tym się zasugerowali autorzy podręczników matematyki), że takie przeciwieństwo jest słabe, bo dopuszcza stan trzeci (ani taki, ani taki), tymczasem to, co logicy nazywają sprzecznością (czy też z łacińska kontradykcją) to przeciwieństwo mocne (w rachunku prawdopodobieństwa określone po prostu jako przeciwieństwo). Jest to jednak bardzo mylące i powoduje niezłe zamieszanie. Już prędzej zdanie sprzeczne z danym można by nazwać zaprzeczeniem tego danego, ale nie jego przeciwieństwem! Zatem jeśli mamy zdarzenie A, to zdarzenie A' nie jest przeciwne, ale sprzeczne ze zdarzeniem A, albo też jest jego zaprzeczeniem. W niektórych (nie szkolnych) podręcznikach rachunku prawdopodobieństwa (a nawet w jednym z podręczników logiki) mówi się o dopełnieniu, a nie o przeciwieństwie, ale okazuje się, że ten termin też nie jest poprawny. Już prędzej gdybyśmy powiedzieli, że zdanie A' jest dopełnieniem wykluczającym zdania A.
Esperanto okazuje się językiem znacznie logiczniejszym od języków naturalnych, bo jest w nim możliwość dowolnego tworzenia nazw przeciwnych i nazw sprzecznych. Np. od alta ‘wysoki’ tworzymy nazwę przeciwną malalta ‘niski’ i nazwę sprzeczną (zaprzeczoną) nealta ‘niewysoki’. Można też oczywiście utworzyć nemalalta ‘nieniski’. Podobnie mamy juna ‘młody’, maljuna ‘stary’ (o wieku istoty żywej), nejuna ‘niemłody’ i nemaljuna ‘niestary’. I tak samo nova ‘nowy’, malnova ‘stary’ (o czymś, co od dawna istnieje), nenova ‘nienowy’ i nemalnova ‘niestary’. Po polsku „nie” raz oznacza przeciwieństwo, innym razem sprzeczność, i pewnie stąd zamieszanie.
Nazwy takie jak „ssak” i „ptak” są dla logika przeciwne, tzn. nie muszą oznaczać różne końce tej samej właściwości (jak „wysoki” i „niski”). Jeśli wiemy, że dany kręgowiec jest ssakiem, to wnioskujemy że nie jest ptakiem. Ale już z faktu, że jakiś inny kręgowiec nie jest ssakiem, nie da się niczego wywnioskować: może być ptakiem, ale może też nim nie być. To samo działa też oczywiście w drugą stronę, bo relacja przeciwieństwa jest symetryczna: jeśli wiemy, że coś jest ptakiem, to wnioskujemy, że na pewno nie jest ssakiem, ale jeśli wiemy, że nie jest ptakiem, to nie wiemy, czy jest ssakiem, czy nie. Przeciwieństwo („słabe” jak niektórzy chcą) odpowiada zatem dysjunkcji: coś może być ptakiem, może być ssakiem, może być ani jednym, ani drugim, ale nie może być jednocześnie ptakiem i ssakiem.
Zauważ, że taka terminologia (a nie taka, jak w podręcznikach matematyki!) jest zgodna z potoczną, przynajmniej w pewnym zakresie. Jeśli ktoś zobaczył jakieś stworzenie, i powiedział, że to był gad, a ktoś inny powiedział, że to był płaz, to raczej powiemy, że powiedział coś przeciwnego. Ale gdyby powiedział: nie wiem, co to było, ale na pewno nie był to gad, to powiedziałby coś sprzecznego. Niestety, w języku potocznym ciągle się miesza przeciwieństwo ze sprzecznością... A co ciekawe, po angielsku nie ma takiego mieszania, bo sprzeczność to contradiction, a przeciwieństwo to contrariety, i oba te terminy są książkowe, tzn. w normalnym języku nie są używane na co dzień.
A u nas... w pewnym słowniku czy też encyklopedii widziałem kiedyś, że dysjunkcja to jakoby inna nazwa alternatywy rozłącznej – czyli przeciwieństwo to inna nazwa sprzeczności, co oczywiście jest bzdurą. Na szczęście nowsze słowniki już tak nie podają. Dysjunkcja (czyli w sumie przeciwieństwo) dopuszcza trzecią możliwość, ekskluzja (alternatywa rozłączna czyli w sumie sprzeczność) zakłada, że nie ma innej możliwości niż dwie podane. Jeszcze przykłady przeciwieństwa: alkan i alken, port i miasto położone nie nad wodą, trapez równoramienny i trapez nierównoramienny (istnieją inne czworokąty, które nie są trapezami, np. typowy deltoid nie jest trapezem), a także co ciekawe same terminy „przeciwieństwo” i „sprzeczność” połączone są też relacją przeciwieństwa. Jest tak, bo nazwy czy zdania nie mogą być jednocześnie sprzeczne i przeciwne, ale mogą być jednocześnie niesprzeczne i nieprzeciwne.
Piąta relacja omówiona na tym kursie biblijnej logiki to subcontrariety czyli podprzeciwieństwo. Sam termin to chyba wymyślił już Arystoteles, więc ma po prostu długą tradycję. O podprzeciwieństwie mówimy, gdy dwie nazwy łącznie wyczerpują całą przestrzeń (czyli gdy coś musi być takie lub takie), ale też istnieją obiekty, do których mają zastosowanie obie nazwy na raz. Często cytowanym przykładem jest „zwierzę wodne” i „zwierzę lądowe”, bo przecież istnieją zwierzęta żyjące w obu środowiskach (choćby żaby czy foki). Często aby podać odpowiedni przykład, posługujemy się pewną nazwą prostą i negacją innej nazwy, np. prostokąt – czworokąt nieforemny (w przestrzeni czworokątów). Mamy bowiem prostokąty foremne (kwadraty), mamy czworokąty nieforemne (np. większość trapezów), mamy też prostokąty, które są nieforemne (inne niż kwadraty), ale nie ma foremnych nieprostokątów. W przypadku relacji podprzeciwieństwa z fałszywości jednego zdania wnioskujemy o prawdziwości drugiego, ale niczego poza tym nie możemy wywnioskować: z prawdziwości jednego zdania wcale nie wynika cokolwiek na temat zdania drugiego, może ono być fałszywe lub prawdziwe. Wśród nazw dzieje się tak samo: jeśli zwierzę jest wodne, nie oznacza to, że nie jest lądowe (bo np. żaba jest jednocześnie taka i taka). Ale jeśli wiemy, że dane zwierzę nie jest wodne, to wtedy na pewno jest lądowe.
Relacją podprzeciwieństwa połączone są nazwy, które się dopełniają (każdy obiekt rozpatrywanej przestrzeni musi być w co najmniej jednej z nazwanych grup) i których zakresy jednocześnie się krzyżują (tzn. jest możliwość, że dany obiekt można nazwać i tak, i tak). Jak widać, określanie zdarzeń A i A' nazwą dopełniających się jest więc błędne. Owszem, dopełniają się, ale musimy jeszcze dodać, że się też wykluczają. Tymczasem nazwy „zwierzę lądowe” i „zwierzę wodne” także się dopełniają, ale się też nie wykluczają.
Arystoteles wspominał, że sprzeczność, przeciwieństwo i podprzeciwieństwo są typami opozycji. W rzeczywistości niezależność też jest pewną formą opozycji, i to samo można powiedzieć o jeszcze jednej relacji, która w dodatku ma dwie formy.
W każdym razie przy sprzeczności możemy z prawdziwości jednego zdania wnioskować fałszywość drugiego, a z fałszywości jednego prawdziwość drugiego. Przy przeciwieństwie z prawdziwości jednego wnioskujemy fałszywość drugiego (i nic więcej). Przy podprzeciwieństwie to z fałszywości jednego zdania wnioskujemy prawdziwość drogiego. Może dlatego tylko te możliwości nazwano opozycją. Bo przecież przy niezależności nie można wywnioskować niczego.
Dwie ostatnie relacje (szósta i siódma) są niesymetryczne i zostały zamienione miejscami przez wykładowcę (albo przyjął on jakąś inną dziwną konwencję). Ale to już Arystoteles albo jego komentatorzy i naśladowcy nazwali pewną relację subimplikacją. U nas jeśli już, to mówi się o implikacji prostej, wynikaniu lub podrzędności. Stosunek podrzędności łączy np. terminy człowiek i ssak. Każdy człowiek jest ssakiem (czyli z prawdziwości pierwszego wnioskujemy o prawdziwości drugiego), ale nie każdy ssak jest człowiekiem (czyli z prawdziwości drugiego niczego nie możemy wywnioskować). Z fałszywości pierwszego (nie-człowiek) też niczego nie wywnioskujemy (może to być ssak lub nie), ale już z fałszywości drugiego wywnioskujemy fałszywość pierwszego (jeśli coś nie jest ssakiem, to na pewno nie jest człowiekiem).
Ostatnia, siódma relacja powstaje, gdy nazwy połączone relacją szóstą zamienimy miejscami (np. ssak i człowiek). Wtedy z prawdziwości pierwszego nie wynika nic (ssak może być czlowiekiem lub nie), ale z fałszywości pierwszego wynika fałszywość drugiego (jeśli coś nie jest ssakiem, to nie jest człowiekiem). Gdy rozpatrujemy drugi termin, to z jego prawdziwości wywnioskujemy prawdziwość pierwszego (człowiek to ssak), ale z fałszywości już nic nie wywnioskujemy (kot to nie-człowiek i żaba to też nie-człowiek, ale kot jest ssakiem, a żaba ssakiem nie jest). Taką wersję relacji nazywamy superimplikacją lub u nas częściej implikacją odwrotną, a jeszcze częściej nadrzędnością.
Czyli siedem typów relacji między nazwami to: niezależność, zamienność, sprzeczność, przeciwieństwo, podprzeciwieństwo, podrzędność i nadrzędność. Pięć pierwszych jest symetryczna (nie zależy od kolejności nazw), dwie ostatnie to tak naprawdę jedna relacja, tylko rozpatrywana z dwóch stron. Ogólnie mówi się czasem, że podrzędność i nadrzędność to dwa spojrzenia na inkluzję czyli właściwe (ostre) zawieranie się.
Wymyślono jeszcze terminy dodatkowe, łączące niektóre z tych 7 typów. I tak, wszystko poza zamiennością to niezamienność (nonekwiwalencja). Opozycja ma znaczenie różne, albo łączy sprzeczność, przeciwieństwo i podprzeciwieństwo (tak u Arystotelesa), albo do tego dopisuje się jeszcze podrzędność i nadrzędność. Zamienność, podrzędność i nadrzędność to łącznie zawieranie się nieostre (to tak jak nierówność nieostra: coś jest zawarte w czymś lub z nim identyczne) albo subsumpcja. Sprzeczność i przeciwieństwo to łącznie wykluczanie (lub rozłączność), podprzeciwieństwo i niezależność to łącznie krzyżowanie się. Tylko sprzeczność i podprzeciwieństwo to łącznie dopełnianie się (nieostre). Pozostałe relacje (zamienność, podrzędność, nadrzędność, przeciwieństwo i niezależność) to niedopełnianie się.
Jeśli 1 oznacza prawdę, a 0 fałsz, to można opisać:
zamienność jako 1 ←→ 1, 0 ←→ 0,
sprzeczność jako 1 ←→ 0,
przeciwieństwo jako 1 -→ 0, 0 ←-1,
podprzeciwieństwo jako 0 -→ 1, 1 ←- 0,
podrzędność jako 1 -→ 1, 0 ←- 0,
nadrzędność jako 0 -→ 0, 1 ←- 1,
niezależności nie da się tak opisać, bo uniemożliwia ona w ogóle tego typu wnioskowanie.