Artykuł został opublikowany także na portalu JustPasteIt (dawniej Eioba).
Wersja z 2024-10-28
Związki logiczne
2
Zdania typu x jest X zwane są zdaniami atomowymi. W zdaniu takim x jest zwane podmiotem, natomiast X jest zwane orzecznikiem. Funkcje podmiotu i orzecznika pełnią nazwy. Nazwy mają swoje zakresy. Zakres nazwy N tworzą wszystkie obiekty n, o których można powiedzieć, że n jest N. Np. zakresem nazwy „pies” są wszystkie psy.
Między zakresami nazw P i Q może wystąpić siedem różnych stosunków (zamienność, nadrzędność, podrzędność, sprzeczność, przeciwieństwo, podprzeciwieństwo i niezależność), które można zebrać w trzy stosunki nadrzędne (zawieranie się, wykluczanie się, krzyżowanie się):
- zawieranie się, jeśli zakres przynajmniej jednej z nazw nie obejmuje żadnych obiektów, które nie należą do zakresu drugiej nazwy; na zawieranie się składają się trzy stosunki, z których dwa zawsze występują jednocześnie:
- zamienność, równozakresowość, ekwiwalencja, zgodność lub pokrywanie się, jeśli ich zakresy są dokładnie takie same, tj. jeśli każdy x należący do P należy także do Q, a każdy x należący do Q należy także do P; taki stosunek można opisać jako równoważność zdań x ∈ P ⇔ x ∈ Q;
- nadrzędność nazwy P względem Q, gdy x ∈ P ⇐ x ∈ Q (nadrzędność odpowiada implikacji odwrotnej czyli intensywnej);
- podrzędność nazwy Q względem P (mówimy wówczas, że Q zawiera się w P); w tym wypadku x ∈ Q ⇒ x ∈ P (podrzędność odpowiada implikacji prostej czyli ekstensywnej);
- wykluczanie się, jeśli zakresy P i Q są rozłączne, tj. nie ma żadnych obiektów, które należą jednocześnie do zakresów obu nazw; na wykluczanie się składają się dwa stosunki:
- sprzeczność zakresowa, niezgodność, kontradykcja lub kontrawalencja, niekiedy zwana także dopełnianiem (wykluczającym), jeśli każdy możliwy obiekt należy albo do P, albo do Q (nie ma takich, które nie należą ani do P, ani do Q, nie ma też takich, które należałyby jednocześnie do P i do Q); taki stosunek można opisać jako ekskluzję (alternatywę rozłączną) zdań x ∈ P ⊻ x ∈ Q; w rachunku prawdopodobieństwa o zdarzeniach takich, że musi zajść dokładnie jedno z nich, mówi się, że są przeciwne, co oczywiście jest niepoprawne i wprowadza w błąd;
- przeciwieństwo lub niewspółprawdziwość zakresowa, jeśli co prawda zakresy P i Q się wykluczają, ale istnieją obiekty, które nie należą ani do P, ani do Q; taki stosunek można opisać jako dysjunkcję zdań x ∈ P | x ∈ Q; w rachunku prawdopodobieństwa o zdarzeniach takich, że nie mogą zajść równocześnie mówi się, że są rozłączne lub wykluczają się;
- krzyżowanie się, jeśli istnieją obiekty, które należą do zakresu nazwy P, ale nie do Q, takie, które należą do Q, ale nie do P, i wreszcie takie, które należą zarówno do P, jak i do Q; na krzyżowanie się składają się dwa stosunki:
- podprzeciwieństwo lub niewspółfałszywość zakresowa, jeśli każdy możliwy obiekt należy do P lub do Q (nie ma takich, które nie należą ani do P, ani do Q, za to istnieją takie, które należą do P i Q jednocześnie); taki stosunek można opisać jako alternatywę (zwykłą) zdań x ∈ P ∨ x ∈ Q;
- niezależność, rzadko independencja, jeśli istnieją obiekty należące tylko do P, tylko do Q, do P i Q jednocześnie, a także takie, które nie należą ani do P, ani do Q.
| |
 |
 |
 |
|
| |
zamienność |
nadrzędność |
podrzędność |
|
| |
 |
|
| zawieranie się |
 |
|
|
|
|
|
|
|
 |
 |
 |
 |
| sprzeczność |
przeciwieństwo |
podprzeciwieństwo |
niezależność |
 |
|
| wykluczanie się |
krzyżowanie się |
Relacje nadrzędności i podrzędności są niesymetryczne (asymetryczne, przeciwsymetryczne) i zachodzą jednocześnie. Jeśli nazwa P jest nadrzędna względem nazwy Q, to nazwa Q jest podrzędna względem nazwy P.
Uwaga: zwykle dopełnianie się rozumie się jako sytuację, w której każdy możliwy obiekt należy do P lub do Q, przy czym mogą lub nie mogą być takie, które należą do obu zbiorów. Mówi się wówczas, że:
- zdania lub nazwy przeciwne wykluczają się, ale nie dopełniają,
- zdania lub nazwy podprzeciwne dopełniają się, ale nie wykluczają (krzyżują się),
- zdania lub nazwy sprzeczne wykluczają się i dopełniają,
- zdania lub nazwy niezależne nie wykluczają się ani nie dopełniają.
Przy takim rozumieniu dopełnianie się nie jest równoważne niezgodności (sprzeczności zakresowej, kontrawalencji), ale obejmuje sprzeczność i podprzeciwieństwo.
| |
dopełnianie się |
niedopełnianie się |
| wykluczanie się |
|
|
| sprzeczność |
przeciwieństwo |
| krzyżowanie się |
|
|
| podprzeciwieństwo |
niezależność |
Przykłady:
- zamienność: student — słuchacz wyższej uczelni, człowiek — istota myśląca (rozumna), kobieta — dorosła osoba płci żeńskiej, krakowiak — mieszkaniec Krakowa, auto — samochód, wielokąt — wielobok, kwadrat — prostokąt o równych bokach, nieduży — mały lub średni,
- nadrzędność / podrzędność: ssak — człowiek, prawnik — sędzia, wielokąt — trójkąt, prostokąt — kwadrat, niemały — średni, nieduży — średni,
- sprzeczność: kręgowiec — bezkręgowiec (*), ptak — ssak (*), jeździec — piechur (*), człowiek — nie-człowiek, prawnik — nie-prawnik, palacz tytoniu — niepalący, mały — niemały, duży — nieduży, wysoki — niewysoki, niski — nieniski,
- przeciwieństwo: ssak — zwierzę opierzone, ptak — ssak (*), człowiek — szympans, student — analfabeta, samochód — tramwaj, kwadrat — trójkąt, mały — duży,
- podprzeciwieństwo: nie-człowiek — ssak, prawnik – nie-sędzia, nieduży — niemały, niewysoki — nieniski,
- niezależność: ssak — zwierzę latające, lekarz – naukowiec, urzędnik — sportowiec, wysoki — chudy.
W podanych przykładach zakładamy, że „niemały” = „duży lub średni”, „nieduży” = „mały lub średni”, itd.
(*) Ustalenie, z jakim rodzajem relacji mamy do czynienia, wymaga zwykle precyzyjnego wyznaczenia granic interesującej nas przestrzeni nazw. I tak, nazwy „ptak” i „ssak” są sprzeczne, jeśli ograniczamy się wyłącznie do kręgowców stałocieplnych, ale przeciwne, jeśli rozważamy szerszą grupę organizmów. Podobnie „kręgowiec” i „bezkręgowiec” pozostaną sprzeczne w obrębie wielokomórkowców, ale przeciwne w obrębie organizmów jądrowych. „Jeździec” i „piechur” będą nazwami sprzecznymi, jeśli rozważać będziemy wyłącznie wędrowców. Niedookreślenie przestrzeni nazw (najszerszego rozważanego w danej sytuacji zakresu nazw) pozbawia też sensu określenia typu „nie-człowiek”. Nie-człowiekiem będzie bowiem prawdopodobnie szympans, ale czy także np. kamień? A planeta? Szczęście? Wskazanie granic przestrzeni nazw jest w takich wypadkach bardzo pożądane.
Koniunkcja zdań nie jest reprezentowana w stosunkach między zakresami, oznaczałaby bowiem, że dowolny obiekt musi należeć do zakresu P i do zakresu Q. I odwrotnie, niezależności nie przedstawia się zwykle przy pomocy relacji logicznych, ponieważ każda z czterech możliwości należenia obiektów do zakresów nazw P i Q jest prawdziwa. W takim ujęciu niezależność oznacza brak relacji logicznej między zakresami nazw, choć można też przyjąć całkiem inny punkt widzenia i przyznać, że między niezależnymi nazwami zachodzi normalnie nienazwana relacja „może… może…”, która jest zawsze prawdziwa.