Strona wykorzystuje JavaScript. Należy odczekać około 20 sekund, aby zapisy matematyczne stały się w pełni czytelne i przejrzyste.
This page uses JavaScript. Please wait ca. 20 seconds for maths formulas to become fully clear and readible.
Wersja z 2015-03-03
Jak wspomniano przy innej okazji, wektor można wyobrazić sobie:
Aby zachować zgodność z zasadami logiki, a w szczególności ze sztuką definiowania, tutaj będziemy zawsze uważać wektor za obiekt geometryczny podobny do odcinka, ale mający wyróżniony początek i koniec. O ile odcinki
Wektory wyróżniają trzy cechy: kierunek, zwrot i długość. Długość wektora jest taka sama, jak długość odcinka, z którego wektor powstał; jest to liczba nieujemna. Jeśli długość wektora jest równa zero, to taki wektor nazywamy zerowym i oznaczamy
Będziemy tu analizować wektory leżące na prostej (osi), na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej (choć istnieją też wektory w przestrzeniach o większej ilości wymiarów). Odróżnimy też wektory swobodne od zaczepionych. Bardziej konkretne wektory zaczepione (oznaczane np.
To, co potocznie nazywamy przestrzenią, jest w istocie obiektem trójwymiarowym. Matematyka bada także przestrzenie o innej ilości wymiarów, w tym przestrzenie dwuwymiarowe, bardziej znane jako powierzchnie, przestrzenie jednowymiarowe, czyli krzywe, czy wreszcie najprostsze przestrzenie zerowymiarowe – punkty. Przestrzenie o wymiarze większym niż zero można traktować jako zbiory punktów o określonych właściwościach. Aby ułatwić analizę takiej przestrzeni, często wprowadza się w niej układ współrzędnych. Taki układ wyróżnia pewne punkty przestrzeni i pozwala na opisanie położenia innych punktów względem tych wyróżnionych. Mówiąc prościej, choć mniej ściśle, układ współrzędnych ułatwia orientację w badanej przestrzeni. Bez układu współrzędnych możemy opisywać tylko położenie względne obiektów w badanej przestrzeni – to znaczy położenie jednych obiektów względem drugich. Dodanie układu współrzędnych wyróżnia pewne obiekty, i wówczas położenie wszystkich innych podajemy względem tych wyróżnionych, co najczęściej ułatwia badania.
Najprostszym typem przestrzeni jednowymiarowej, czyli (linii) krzywej, jest (jakkolwiek dziwnie to nie zabrzmi) prosta. Po prostej możemy poruszać się tylko w jeden sposób – wzdłuż niej, w tym samym kierunku (w sensie matematycznym, nie potocznym!), choć ruch ten może mieć dwa różne zwroty (potocznie: przeciwne kierunki). Jeśli w jakikolwiek sposób uda nam się odróżnić te zwroty (np. nazywając jeden z nich dodatnim, a drugi ujemnym), prosta stanie się osią. Zauważmy, że oś tym różni się od prostej, czym wektor różni się od odcinka.
Wyróżnijmy teraz jeden z punktów naszej osi, i przypiszmy mu liczbę zero. Będziemy mówić, że współrzędna tego punktu równa jest zero. Punkt ten nazwiemy początkiem układu współrzędnych. Po jednej stronie tego wyróżnionego punktu będą wówczas leżeć wszystkie punkty o współrzędnych dodatnich, po drugiej zaś – wszystkie punkty o współrzędnych ujemnych. Współrzędną możemy ogólnie określać np. symbolem
Wyróżnijmy jeszcze jeden z punktów osi, i niech będzie to jeden z punktów o dodatniej współrzędnej. Umówmy się, że jego współrzędna równa jest 1. Zauważmy, że dwa wyróżnione punkty, o współrzędnych 0 i 1, wyznaczają nam bardzo szczególny wektor. Wektor ten, oznaczany często
Całą operację „przekształcenia” prostej w oś można wykonać prościej. Weźmy zatem naszą prostą, i umieśćmy na niej od razu wersor. W tym momencie automatycznie wyznaczamy początek układu współrzędnych oraz określamy zwrot osi. Mało to, umieszczenie na prostej wersora pozwoli wyznaczać położenie dowolnych innych punktów. Wersor staje się bowiem miarą odległości dowolnego punktu prostej od początku układu, a dodatkowo określa, czy aby dotrzeć od początku układu do danego punktu należy posuwać się zgodnie ze zwrotem osi czy też przeciwnie do tego zwrotu.
Aby znaleźć dowolny punkt na prostej, jeśli określiliśmy wersor osi, wystarczy jedynie podać (jedną) współrzędną tego punktu. Współrzędna ta jest liczbą rzeczywistą, określającą położenie punktu w sposób jednoznaczny. Wartość bezwzględna współrzędnej to odległość punktu od początku układu. Jeśli współrzędna jest dodatnia, wartość bezwzględna współrzędnej to po prostu ta współrzędna. Punkt leży wówczas na dodatniej części osi. Jeśli współrzędna jest równa zeru, wówczas badany punkt to początek układu współrzędnych (a wartość bezwzględna współrzędnej także jest równa współrzędnej). Jeśli współrzędna jest ujemna, to odległość punktu od początku układu (wartość bezwzględną współrzędnej) otrzymamy, opuszczając znak minus.
Na naszej osi możemy także znaleźć wektory zaczepione. Reprezentacją liczbową wektora zaczepionego będzie uporządkowana para liczb równych współrzędnym początku i końca wektora. Jeśli weźmiemy współrzędną końca i odejmiemy od niej współrzędną początku wektora, otrzymamy liczbę, którą nazwiemy współrzędną wektora. Współrzędna wektora (nie: współrzędna końca wektora!) wyznacza jego długość i zwrot, ale nie określa położenia. Zatem każdy inny wektor zaczepiony o takiej samej współrzędnej wektora będzie reprezentacją tego samego wektora swobodnego.
Podsumujmy: reprezentacją wektora zaczepionego na osi jest uporządkowana para liczb. Liczby te to współrzędne początku i końca wektora. Reprezentacją wektora swobodnego na osi jest pojedyncza liczba – współrzędna wektora. Współrzędna wektora to różnica współrzędnej końca i współrzędnej początku dowolnego wektora zaczepionego, który jest wystąpieniem wektora swobodnego. Nawiasem mówiąc, całkowicie przeczy to popularnej „definicji”, w myśl której wektor to jakoby uporządkowana para liczb…
Wyobrażenie wektora jako figury geometrycznej, odcinka z zaznaczonym zwrotem nazywamy syntetycznym przedstawieniem wektora. Analitycznym przedstawieniem wektora jest natomiast jego wspólrzędna.
Długość wektora zaczepionego na osi, określana też przez matematyków jako norma tego wektora, to wartość bezwzględna różnicy współrzędnych końca i początku tego wektora. Analogicznie norma wektora swobodnego to wartość bezwzględna współrzędnej tego wektora.
Zwróćmy uwagę, że nie można obliczać współrzędnych początka ani końca wektora swobodnego, bo są one nieokreślone. Przyjmijmy też, że pojęcie współrzędnej wektora odnosi się tylko do wektora swobodnego. Innymi słowy, jeśli mówimy o wektorze zaczepionym, podajemy współrzędne jego początku i końca. Jeśli natomiast mówimy o wektorze swobodnym, podajemy tylko współrzędną tego wektora. Obliczanie współrzędnej wektora (jako różnicy współrzędnych końca i początku) oznacza więc przejście od wektora zaczepionego do wektora swobodnego.
Rozważmy teraz przykład. Na prostej
Na naszej prostej możemy znaleźć już cały szereg wektorów zaczepionych. Będziemy je oznaczać, podając początek i koniec, oraz ich współrzędne, np.
Obliczmy teraz współrzędną wektora
Wektor na osi możemy także otrzymać, pomniejszając lub powiększając wersor
Normę wektora oznaczać będziemy tak samo jak wartość bezwzględną liczby czy długość odcinka (choć niektórzy wolą używać symbolu złożonego z dwóch pionowych kresek z każdej strony). W naszym przykładzie
Najprostszym typem przestrzeni dwuwymiarowej jest płaszczyzna. Aby określać położenie punktów na płaszczyźnie, nanieśmy na nią typowy, znany ze szkoły, kartezjański układ współrzędnych prostokątnych (choć istnieje wiele innych metod wyrażania współrzędnych). W tym celu wybierzemy na płaszczyźnie pewną prostą, umieścimy na niej wersor
Punkty i wektory na płaszczyźnie będą miały dwie współrzędne. Aby wyznaczyć położenie dowolnego punktu
Niech punkt
Możemy teraz nasz wektor zaczepiony
Normę (długość) wektora
Zauważmy, że wzór podany wyżej dla wektorów na osi jest w pełni analogiczny, bowiem
Mówimy, że wektor
W analogiczny sposób sumujemy i inne wektory, tworzące między sobą dowolny kąt (rysunek niżej po lewej). Oba sumowane wektory zaczepiamy w tym samym punkcie (tutaj jest to punkt
Możemy też sumować wektory inaczej (rysunek wyżej po prawej). Jeżeli drugi wektor zaczepimy nie w początku, ale w końcu pierwszego wektora, wówczas wektor będący sumą będzie mieć początek w początku pierwszego wektora, i koniec w końcu drugiego wektora. Innymi słowy, jeśli dwa dodawane wektory zawrzemy w dwóch bokach trójkąta, to suma zawarta będzie w trzecim jego boku.
Przedstawione wyżej sposoby oparte na figurach geometrycznych nazywamy sumowaniem syntetycznym; możemy też sumować wektory analitycznie, korzystając ze znajomości ich współrzędnych. Okazuje się, że aby uzyskać sumę wektorów, wystarczy dodać do siebie odpowiednie współrzędne (nie mieszając ich ze sobą). A więc na przykład jeśli
Dwa wektory (swobodne) są równe, jeśli mają takie same: długość (normę), kierunek i zwrot. Stwierdzenie to odnosi się do geometrii syntetycznej. W geometrii analitycznej powiemy bowiem, że wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne.
Wektor przeciwny znajdujemy syntetycznie, zmieniając zwrot wektora pierwotnego, a pozostawiając tę samą długość i kierunek. Analitycznie natomiast zmieniamy każdą ze współrzędnych na liczbę do niej przeciwną. Np. jeśli
wektory przeciwne |
Syntetycznie różnica wektorów może zostać wyznaczona przez dodanie wektora przeciwnego (niżej po lewej). Jeśli na odejmowanych wektorach zbudujemy równoległobok, to wektor będący różnicą utworzy przekątną równoległoboku, inną niż tę, która jest utworzona przez wektor będący sumą (niżej po prawej). Początek tego wektora to koniec wektora odejmowanego, koniec tego wektora to koniec wektora, od którego odejmujemy.
O ile dodawanie i odejmowanie wektorów jest proste, o tyle mnożenie sprawia kłopoty. Iloczyn wektora przez liczbę (przez skalar) jest wektorem. Obliczamy go, mnożąc przez tę liczbę każdą ze współrzędnych wektora:
Mnożenie wektora przez wektor można zdefiniować tak, by wynikiem była liczba (skalar) – takie działanie nazywa się iloczynem skalarnym (nie wolno mieszać iloczynu skalarnego z mnożeniem wektora przez skalar) i oznacza
W przestrzeni trójwymiarowej potrzebować będziemy 3 osi:
Dla wektorów w przestrzeni trójwymiarowej (ale nie dla wektorów na osi lub na płaszczyźnie) definiuje się iloczyn wektorowy:
Niech
na osi | na płaszczyźnie | w przestrzeni | |
---|---|---|---|
współrzędne wektora zaczepionego |
|||
współrzędne wektora swobodnego |
|||
składowe wektora | |||
norma wektora | |||
wektory równe | `vec(u) = vec(v) ⇔ u = v` | `vec(u) = vec(v) ⇔ u_x = v_x ^^ u_y = v_y` | `vec(u) = vec(v) ⇔ u_x = v_x ^^ u_y = v_y ^^ u_z = v_z` |
wektory przeciwne | `vec(u) = - vec(v) ⇔ u = - v` | `vec(u) = - vec(v) ⇔ u_x = - v_x ^^ u_y = - v_y` | `vec(u) = - vec(v) ⇔ u_x = - v_x ^^ u_y = - v_y ^^ u_z = - v_z` |
suma wektorów | |||
różnica wektorów | |||
iloczyn wektora przez liczbę | |||
iloczyn skalarny | |||
wyznacznik pary wektorów | |||
kąt między wektorami | |||
iloczyn wektorowy | — | — | |
wektory prostopadłe | |||
wektory równoległe | |||
— | |||
Dodawanie wektorów jest przemienne i łączne, tak samo jak dodawanie liczb.
Strona znajduje się w budowie. Cierpliwości!
https://sites.google.com/site/obliczeniowo/ma/wektory
https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_skalarny
https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product
https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_wektorowy
https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product
https://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_Grama
http://www.maturzysta.info/pdf_portal/poletrojkata_wxoyx.pdf
Grzegorz Jagodziński