Wersja z 2025-06-25
W tym artykule będziemy się zajmować rodzajem wielościanów, zwanych pryzmatoidami. Są to bryły tego rodzaju, że wszystkie ich wierzchołki leżą w dokładnie dwóch płaszczyznach. Ustalimy, jak obliczyć objętość takich brył. Inaczej niż w wielu podręcznikach matematyki, zacznijmy od brył najprostszych i najbardziej regularnych. Skupimy się zatem na najprostszym i najbardziej regularnym z pryzmatoidów, mianowicie na sześcianie.
Sześcian, jak sama nazwa mówi, ma sześć ścian. Każda z nich jest identycznym kwadratem o boku `a`, zatem pole powierzchni całkowitej sześcianu to:
`P = 6a^2`
Między sąsiadującymi krawędziami sześcianu są kąty proste. Zauważmy też, że możemy znależć dokładnie dwie równoległe płaszczyzny takie, że będą na nich leżeć wszystkie wierzchołki sześcianu.
W rzeczywistości można wskazać trzy pary takich równoległych płaszczyzn. Będziemy jednak analizować płaszczyzny poziome, zawierające ściany `A B C D` oraz `A^' B^' C^' D^'` sześcianu. Ściany te nazwiemy podstawami sześcianu. Pozostałe cztery to ściany boczne.
 |
Sześcian ma dwanaście krawędzi. Cztery z nich ograniczają dolną podstawę, cztery kolejne ograniczają górną podstawę. Są jeszcze cztery krawędzie łączące wierzchołki podstawy dolnej z odpowiadającymi im wierzchołkami podstawy górnej.
Sześcian ma osiem wierzchołków. Cztery z nich leżą w płaszczyźnie dolnej podstawy, i cztery leżą w płaszczyźnie górnej podstawy sześcianu.
Objętość sześcianu wynika z definicji tego pojęcia: jest równa iloczynowi długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka. Ponieważ krawędzie te są równej długości, objętość sześcianu wynosi `a^3`. Stąd wyrażenie to odczytujemy jako „`a` sześcian”.
`V = a^3`
Na przykład sześcian o krawędzi `a = 1` ma objętość `V = 1`, sześcian o krawędzi `a = 2` ma objętość `V = 8`, a sześcian o krawędzi `a = 3` ma objętość `V = 27`, co można prześledzić na rysunku:
 |
 |
 |
Długość krawędzi `a` nie musi być liczbą całkowitą; może także być ułamkiem, a nawet liczbą niewymierną. Obliczanie objętości odbywa się w każdym przypadku tak samo.
Zauważmy, że gdy zwiększymy długość krawędzi `k` razy, to objętość wzrośnie `k^3` razy. Np. jeśli powiększyć dwukrotnie długość krawędzi `a_1 = 2` (do długości `a_2 = 4`), to wówczas objętość wzrośnie `2^3 = 8` razy, tzn. zmieni się z `V_1 = 2^3 = 8` do `V_2 = 64`. I podobnie, gdy krawędź o długości `a_1 = 1.25` powiększyć cztery razy, otrzymując krawędź `a_2 = 5`, to wówczas objętość `V_1 = 1.25^3 = 1.953125` zwiększy się `4^3 = 64` razy do wartości `V_2 = 125`.
Sześcian jest rodzajem pryzmatoidu, graniastosłupa, równoległościanu i prostopadłościanu (pojęcia te omówimy dalej). W języku angielskim sześcian nosi nazwę cube.
Trzy krawędzie sześcianu wychodzące z jednego wierzchołka mają taką samą długość. Gdy krawędzie to dowolnie wydłużymy lub skrócimy, niekoniecznie w takim samym stopniu, otrzymamy prostopadłościan. Sześcian jest szczególnym rodzajem prostopadłościanu.
Najprostszy przypadek polega na wydłużeniu lub skróceniu tylko krawędzi pionowej. Otrzymana bryła nosi tradycyjnie nazwę graniastosłup prawidłowy czworokątny, choć oczekiwana byłaby nazwa prostopadłościan prawidłowy. Dwie jego krawędzie poziome są tej samej długości.
 |
|
 |
| prostopadłościan prawidłowy skrócony | sześcian | prostopadłościan prawidłowy wydłużony |
Podstawy prostopadłościanu prawidłowego są kwadratami, każda o polu `P_p = a^2`. Cztery ściany boczne są przystające, każda z nich ma pole `P_s = ac`. Pole powierzchni całkowitej tej bryły wyraża zatem wzór:
`P = 2a^2 + 4ac`
Gdyby ustawić dwa sześciany jeden na drugim, objętość otrzymanej bryły będzie dwukrotnie większa od objętości każdego z sześcianów. Widać więc, że jeśli podstawa jest stała, to wówczas objętość prostopadłościanu jest proporcjonalna do jego wysokości, czyli do długości krawędzi pionowej. Stąd wnioskujemy, że rzeczywiście objętość prostopadłościanu prawidłowego (graniastosłupa prawidłowego czworokątnego) jest iloczynem pola podstawy `P_p = a^2` przez wysokość, która jest równa długości krawędzi pionowej `c`.
`V = a^2c`
W dowolnym prostopadłościanie każda z trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka może mieć inną długość. W ogólności, prostopadłościan to wielościan mający 6 prostokątnych ścian, parami przystających. Dwie ściany prostopadłościanu mające wspólną krawędź są do siebie prostopadłe. Wszystkie kąty między trzema krawędziami zbiegającymi się w danum wierzchołku są proste.
 |
Każdy prostopadłościan, nie tylko sześcian, ma sześć ścian, dwanaście krawędzi i osiem wierzchołków. W ogólności ściany są trzech rodzajów i parami przystające (podstawy górna i dolna, ściany boczne prawa i lewa, ściany boczne czołowa i tylna). Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest więc równe:
`P = 2(ab + ac + bc)`
Gdyby dwa identyczne prostopadłościany ustawić ściśle jeden obok drugiego, oznaczałoby to utworzenie nowego prostopadłościanu, którego jedna z krawędzi byłaby dwa razy dłuższa niż w każdym z prostopadłościanów wyjściowych. Objętość otrzymanej bryły również byłaby dwa razy większa. Analogicznie można zmieniać długość każdej z krawędzi. Zmiana długości tylko jednej krawędzi pewną ilość razy powoduje zmianę objętości bryły tyle samo razy. Inaczej mówiąc, objętość prostopadłościanu jest proporcjonalna do długości każdej z krawędzi wychodzącej z jednego wierzchołka, przy ustalonych długościach dwóch pozostałych krawędzi. Zatem objętość prostopadłościanu jest równa iloczynowi długości trzech wzajemnie prostopadłych krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.
`V = abc`
Prostopadłościan jest rodzajem pryzmatoidu, graniastosłupa i równoległościanu (pojęcia te omówimy dalej). W języku angielskim prostopadłościan nosi nazwę cuboid.
Dwanaście krawędzi prostopadłościanu tworzą trzy grupy, każda złożona z czterech krawędzi tej samej długości, należące do tego samego kierunku (czyli równoległe względem siebie). W danym wierzchołku zbiegają się trzy krawędzie, każda należąca do innego kierunku. W prostopadłościanie są one względem siebie prostopadłe. Jeśli usuniemy ten warunek prostopadłości, otrzymamy bryłę o nazwie równoległościan.
Na początek weźmy zwykły sześcian i pochylmy go w jedną stronę tak, by wysokość bryły `h = a` (równa długości krawędzi podstawy) nie uległa zmianie. Efekt taki można osiągnąć tylko poprzez odpowiednie wydłużenie czterech krawędzi. Oto efekt takiej modyfikacji:
 |
Kąt `beta` znajduje się między krawędziami `a` oraz `c` (nazewnictwo jest tego rodzaju, by litery i ich geckie odpowiedniki się nie pokrywały). Podstawy `A B C D` oraz `A^' B^' C^' D^'` otrzymanej bryły, szczególnego kwadratowego równoległościanu jednoskośnego, wciąż są kwadratami, każdy o polu powierzchni `a^2`. Pochyłe ściany boczne (lewa i prawa) `A D D^' A^'` i `B C C^' B^'` są prostokątami o bokach `a` i `c`, zatem pole powierzchni każdej z nich wynosi `ac`, przy czym `c = h/sin beta`. Wreszcie ściany w kształcie równoległoboków (czołowa i tylna) `A B B^' A^'` i `D C C^' D^'` mają każda pole powierzchni `ah` lub `ac sin beta`. Ponieważ `h = a`, więc pole powierzchni każdej z tych równoległościanów wynosi `a^2`. Pole powierzchni całkowitej tego równoległościanu wynosi zatem:
`P = 2a(2a + c) = 2a^2(2 + 1/sin beta) = 2a^2(2 + csc beta)`
Aby obliczyć objętość otrzymanej bryły, możemy wykorzystać dwie metody. W pierwszej metodzie odetniemy prawy „nawis” bryły `C B B^('') C^('') C^' B^'` i przykleimy go z lewej strony jako `D A A^('') D^('') D^' A^'`:
 |
Bryła `A B C D A^('') B^('') C^('') D^('')` jest sześcianem, ma więc objętość `V = a^3`. Stąd i objętość równoległościanu `A B C D A^' B^' C^' D^'` (przed cięciem i klejeniem) wynosi:
`V = a^3`
Wykonując podobnego typu operacje rozcinania i sklejania można pokazać, że objętość dowolnego równoległościanu nie zmienia się, jeśli nie zmieniają się podstawy i odległość płaszczyzn zawierających te podstawy, czyli wysokość bryły. Można natomiast dowolnie przesuwać jedną z podstaw (bez obracania jej).
Druga metoda obliczenia objętości badanego równoległościanu bazuje na spostrzeżeniu, że objętość pozostaje taka sama, jeśli nie zmienia się wysokość bryły ani kształt czy wielkość żadnego z przekrojów bryły dowolną płaszczyzną poziomą (równoległą do podstaw). Tak właśnie jest w wypadku badanego równoległościanu: każdy jego przekrój płaszczyzną poziomą (na dowolnej wysokości) pozostaje dokładnie taki sam, jak przekrój sześcianu o krawędzi `a`. Stąd i objętość tego równoległościanu jest taka sama, jak objętość sześcianu, czyli wynosi `V = a^3`.
Szczególny kwadratowy równoległościan dwuskośny powstaje, gdy górną podstawę sześcianu przesuniemy nie tylko w prawo, ale także w tył bryły. W omawianym przypadku (podstawa jest kwadratem, wysokość równa jest krawędzi podstawy, `h = a`) bryła wygląda tak:
 |
Pole powierzchni każdej podstaw wynosi ciągle `P_p = a^2` (podstawy nie uległy zmianie). Każda ze ścian: czołowa i tylna ma powierzchnię `P_1 = ac sin beta`, każda ze ścian: lewa i prawa ma powierzchnię `P_2 = ac sin alpha`. Powierzchnia całkowita bryły wynosi więc:
`P = 2a[a + c (sin alpha + sin beta)]`
Zauważmy też, że jeśli oznaczymy przez `x`, `y` odpowiednie przesunięcia ściany górnej w bok i do tyłu, to `x/c = cos beta` oraz `y/c = cos alpha`, a przy tym `h^2 + x^2 = g^2`, `g^2 + y^2 = c^2`, `h = a`. Wynika stąd, że `a^2 + x^2 + y^2 = c^2`, `x = c cos beta` i `y = c cos alpha`. Zatem ostatecznie `c = a/sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta) = a/sqrt(sin^2 alpha - cos^2 beta) = a/sqrt(sin^2 beta - cos^2 alpha)`, oraz:
`P = 2a^2[1 + (sin alpha + sin beta)/sqrt(sin^2 alpha - cos^2 beta)] = 2a^2[1 + (sin alpha + sin beta)/sqrt(sin^2 beta - cos^2 alpha)]`
Objętość zależy od pola powierzchni podstaw i od wysokości (która jak pamiętamy jest tu równa krawędzi podstawy, `h = a`), zatem wynosi:
`V = a^3`
Szczególny równoległościan trójskośny powstaje, gdy podstawa bryły jest także równoległobokiem, a nie kwadratem. Rozpatrzmy sytuację, gdy wysokość tego równoległoboku `h` pozostaje tej samej długości, co jedna z jego krawędzi: `h = a`, i jednocześnie wysokość bryły `H` także pozostaje równa tej krawędzi: `H = a`. Zauważmy, że pole podstawy `A B C D` (a także podstawy `A^' B^' C^' D^'`) w takich warunkach wciąż równa się `a^2`. Niech kąt ostry między krawędziami `a` i `b` podstawy wynosi `gamma`. Długość dwóch kawędzi podstawy wynosi `a`, a dwóch pozostałych `b = h/sin gamma = a/sin gamma = a csc gamma`.
Ściany boczne czołowa `A B B^' A^'` i tylna `D C C^' D^'` rozpięte są na krawędziach `a` i `c`, kąt między nimi jest równy `alpha`. Długość krawędzi `c` wynosi (jak w równoległościanie dwuskośnym) `c = a/(sin alpha sin beta) = a csc alpha csc beta`. Pole każdej z tych dwóch ścian wynosi `P_1 = ac sin alpha = a^2/sin beta = a^2 csc beta`.
Ściany boczne lewa `A A^' D^' D` i prawa `B B^' C^' C` rozpięte są na krawędziach `b` i `c`, kąt między nimi jest równy `beta`. Pole każdej z nich wynosi `P_2 = bc sin beta = a^2/(sin alpha sin beta sin gamma) = a^2 csc alpha csc beta csc gamma`.
Pole powierzchni całkowitej omawianej bryły (`H = h = a`) wynosi zatem:
`P = 2a^2 + 2ac sin alpha + 2bc sin beta = 2a^2 (1 + 1/sin beta + 1/(sin alpha sin beta sin gamma)) = 2a^2 (1 + csc beta + csc alpha csc beta csc gamma)`
Objętość zależy od pola powierzchni podstaw i od wysokości (która jak pamiętamy jest tu równa krawędzi podstawy, `h = a`), zatem wynosi:
`V = a^3`
Istnieją dwa rodzaje omawianego typu bryły. Zauważmy, że przy wierzchołkach `A` i `C^'` występują na ścianach bocznych kąty ostre `alpha` i `beta`. Przy wierzchołkach `B` i `D^'` ostry jest tylko kąt `beta`. Przy wierzchołkach `D` i `B^'` ostry jest tylko kąt `alpha`. Natomiast przy wierzchołkach `C` i `A^'` oba kąty na ścianach bocznych są rozwarte. W pierwszym rodzaju równoległościanu trójskośnego dwóm kątom ostrym przy wierzchołkach `A` i `C^'` towarzyszy kąt ostry `gamma` w podstawie: tak bryła to równoległościan trójskośny wydłużony. W drugim rodzaju dwóm kątym ostrym przy wierzchołkach `A` i `C^'` towarzyszy kąt rozwarty (przyległy do `gamma`) i taka bryła to równoległościan trójskośny skrócony.
| równoległościan trójskośny | ||
|---|---|---|
| wydłużony | skrócony | |
| przylegające kąty ścian | naroża | przylegające kąty ścian |
| 3 ostre | `A`, `C^'` | 2 ostre, 1 rozwarty (`D A B`, `B^' C^' D^'`) |
| 2 rozwarte, 1 ostry (`B^' B C`, `A^' D^' D`) | `B`, `D^'` | 2 ostre, 1 rozwarty (`A B B^'`, `C D D^'`) |
| 2 rozwarte, 1 ostry (`B C D`, `B^' A^' D^'`) | `C`, `A^'` | 3 rozwarte |
| 2 rozwarte, 1 ostry (`C D D^'`, `A^' B^' B`) | `D`, `B^'` | 2 ostre, 1 rozwarty (`A D D^'`, `B B^' C`) |
 |
 |
|
Jeśli zamiast sześcianu poddamy operacji pochylania dowolny prostopadłościan, otrzymamy równoległościan, w którym wysokości bryły i jej podstawy niekoniecznie równają się długości którejkolwiek z krawędzi.
| równoległościan | |||
|---|---|---|---|
| jednoskośny | dwuskośny | trójskośny | |
| wydłużony | skrócony | ||
 |
 |
 |
 |
| `P = 2(ab + ac sin beta + bc)` `b = h`, `c = H/sin beta` |
`P = 2(ab + ac sin beta + bc sin alpha)` `b = h`, `c = H/sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta)` |
`P = 2(ab sin gamma + ac sin beta + bc sin alpha)` `b = h/sin gamma`, `c = (H sin gamma)/(sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma))` |
|
| `V = abc sin beta` `V = abH` |
`V = abc sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta)` `V = abH` |
`V = abc sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma)` `V = ahH` |
|
Pole powierzchni równoległobocznej ściany równe jest iloczynowi długości dwóch sąsiadujących krawędzi i sinusa kąta zawartego między nimi (stąd wzory `bc sin alpha`, `ac sin beta`, `ab sin gamma`). Nie ma znaczenia, czy rozpatrywany kąt jest ostry czy rozwarty, w danym równoległoboku sinusy każdego z jego czterech kątów mają taką samą wartość. Jeśli jednak kąt jest prosty, wówczas jego sinus równy jest 1 i można go pominąć. Pole powierzchni całego równoległościanu to suma pól powierzchni trzech par ścian, stąd 2 w podanych wyżej wzorach.
Jeśli nie znamy długości wszystkich krawędzi bryły, ale znamy wysokość podstawy `h` oraz wysokość bryły `H`, możemy znaleźć brakujące długości krawędzi (przyjmijmy, że są to krawędzie `b` i `c`, a jeśli nieznana jest tylko jedna krawędź, niech to będzie krawędź `c`). Bardzo łatwo znaleźć brakującą długość krawędzi podstawy, jeśi znamy długość drugiej krawędzi i wysokość podstawy: skoro `h/b = sin alpha`, to `b = h/sin alpha`. Problem ten pojawia się jedynie w wypadku równoległościanu trójskośnego, za podstawę równoległościanu jedno- lub dwuskośnego przyjmujemy bowiem ścianę prostokątną.
Znacznie bardziej żmudne jest znalezienie długości krawędzi `c`, gdy znana jest wysokość bryły `H` oraz wszystkie trzy kąty (między różnymi parami krawędzi).
Niech `A^('')` będzie rzutem prostokątnym wierzchołka `A^'` równoległościanu na podstawę `A B C D`. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunkach fragmentów podstawy; odcinek `A P` jest częścią odcinka `A Q`, a ten częścią `A B` (poza rysunkiem), którego długość to `a`:
 |
 |
 |
Kąt między krawędziami `A B` (o długości `a`) a `A D` (o długości `b`) oznaczmy jak zwykle jako `gamma`, analogicznie kąt pomiędzy krawędziami `A B` (`a`) a `A A^'`(`c`) jako `beta`, wreszcie kąt między krawędziami `A D` (`b`) a `A A^'` (`c`) jako `alpha`. Kątów tych nie zaznaczono na rysunkach dla większej ich czytelności.
Zauważmy najpierw, że kosinus kąta `gamma` można wyrazić zarówno stosunkiem `m/p`, jak i `q/n`, co można prześledzić na rysunku. Zatem `m = p cos gamma` oraz `q = n cos gamma`. Jednocześnie `y = m + n` oraz `v = p + q`. Z tego układu czterech równań wyeliminujmy `m` i `q`, podstawiając dwa pierwsze związki do dwóch kolejnych:
`{(y = n + p cos gamma), (v = p + n cos gamma):}`
Z tego układu można wyznaczyć albo `p`, albo `n`. Prześledzimy wyznaczenie `p`:
`{(n + p cos gamma = y), (p + n cos gamma = v):}`
`{(n cos gamma + p cos^2 gamma = y cos gamma), (n cos gamma + p = v):}`
`p - p cos^2 gamma = v - y cos gamma`
`p (1 - cos^2 gamma) = v - y cos gamma`
`p sin^2 gamma = v - y cos gamma`
`p = (v - y cos gamma)/sin^2 gamma`
lub używając funkcji kosekans:
`p = (v - y cos gamma) csc^2 gamma`
Wyznaczenie `n` jest analogiczne i prowadzi do związku `n = (y - v cos gamma)/sin^2 gamma` lub `n = (y - v cos gamma) csc^2 gamma`.
Jeśli weźmiemy dowolny prostopadłościan i „wykrzywimy” go tak, by zachować wysokość, a jedynie przemieścić w inne miejsce jedną z podstaw (nie obracając jej), to objętość otrzymanego równoległościanu będzie taka sama, jak objętość prostopadłościanu. Stąd `V = ahH`, czyli `V = abH sin gamma`, a w przypadku równoległościanu dwuskośnego `V = abH`, gdyż w nim `h = b`, a kąt `gamma` jest prosty. Znajdziemy teraz związek między wysokością bryły `H` a długością krawędzi `c`, używając otrzymanych powyżej związków oraz jednej z czterech metod.
Metoda 1
Zauważmy, że odcinki `y, z, w` tworzą trójkąt prostokątny. Zauważmy także, że odcinek `w`, wysokość `H` i krawędź `c` także tworzą trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa mamy zatem `w^2 = y^2 + z^2` oraz `c^2 = w^2 + H^2`. Z tych dwóch związków łatwo wyeliminować `w`, otrzymując `c^2 = y^2 + z^2 + H^2`. A skoro mamy wyznaczyć `H`, możemy ten związek zapisać jako `H^2 = c^2 - y^2 - z^2`.
Zauważmy teraz (na rysunku), że `sin gamma = z/p`, skąd `z = p sin gamma` i konsekwentnie `H^2 = c^2 - y^2 - p^2 sin^2 gamma`. Nie jest to bynajmniej proste zastąpienie jednej nieznanej wartości przez inną, bo przecież `p` umiemy już wyznaczyć (`p = (v - y cos gamma) csc^2 gamma`. Otrzymujemy więc:
`H^2 = c^2 - y^2 - (v - y cos gamma)^2 csc^4 gamma sin^2 gamma`
Funkcje sinus i kosekans skracają się (bo `csc gamma =1/sin gamma`), zatem:
`H^2 = c^2 - y^2 - (v - y cos gamma)^2 csc^2 gamma`
Podnieśmy zawartość nawiasu do kwadratu:
`H^2 = c^2 - y^2 - (v^2 - 2vy cos gamma + y^2 cos^2 gamma) csc^2 gamma`
Zauważmy teraz, że `v/c = cos alpha`, zaś `y/c = cos beta`, skąd `v = c cos alpha` oraz `y = c cos beta`. Podstawiając te wartości, otrzymujemy:
`H^2 = c^2 - c^2 cos^2 beta - (c^2 cos^2 alpha - 2 c cos alpha c cos beta cos gamma + c^2 cos^2 beta cos^2 gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 - c^2 cos^2 beta + ( - c^2 cos^2 alpha + 2 c^2 cos alpha cos beta cos gamma - c^2 cos^2 beta cos^2 gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = (c^2 sin^2 gamma - c^2 cos^2 beta sin^2 gamma - c^2 cos^2 alpha + 2 c^2 cos alpha cos beta cos gamma - c^2 cos^2 beta cos^2 gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 (sin^2 gamma - cos^2 beta sin^2 gamma - cos^2 alpha + 2 cos alpha cos beta cos gamma - cos^2 beta cos^2 gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 (1 - cos^2 gamma - cos^2 beta sin^2 gamma - cos^2 alpha + 2 cos alpha cos beta cos gamma - cos^2 beta (1 - sin^2 gamma)) csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 (1 - cos^2 gamma - cos^2 beta sin^2 gamma - cos^2 alpha + 2 cos alpha cos beta cos gamma - cos^2 beta + cos^2 beta sin^2 gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 (1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma - cos^2 beta sin^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma + cos^2 beta sin^2 gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 (1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma)`
`H = c csc gamma sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma)`
Dla równoległościanu dwuskośnego wzór uprości się, bo `gamma` jest tu kątem prostym, zatem `cos gamma = 0` oraz `csc gamma = 1`. Wówczas:
`H = c sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta)`
Można też zauważyć, że w równoległościanie dwuskośnym `m = q = 0`, a `z = p = v`, zatem:
`H^2 = c^2 - y^2 - z^2`
`H^2 = c^2 - y^2 - p^2`
`H^2 = c^2 - y^2 - v^2`
Zauważmy teraz, że `v/c = cos alpha`, zaś `y/c = cos beta`, skąd `v = c cos alpha` oraz `y = c cos beta`. Podstawiając te wartości, otrzymujemy:
`H^2 = c^2 - c^2 cos^2 beta - c^2 cos^2 alpha`
`H^2 = c^2 (1 - cos^2 alpha - cos^2 beta)`
`H = c sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta)`
Metoda 2
Zauważmy, że odcinki `u, v, w` tworzą trójkąt prostokątny. Zauważmy także, że odcinek `w`, wysokość `H` i krawędź `c` także tworzą trójkąt prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa mamy zatem `w^2 = u^2 + v^2` oraz `c^2 = w^2 + H^2`. Z tych dwóch związków łatwo wyeliminować `w`, otrzymując `c^2 = u^2 + v^2 + H^2`. A skoro mamy wyznaczyć `H`, możemy ten związek zapisać jako `H^2 = c^2 - u^2 - v^2`.
Zauważmy teraz (na rysunku), że `sin gamma = u/n`, skąd `u = n sin gamma` i konsekwentnie `H^2 = c^2 - v^2 - n^2 sin^2 gamma`. Nie jest to bynajmniej proste zastąpienie jednej nieznanej wartości przez inną, bo przecież `n` umiemy już wyznaczyć (`n = (y - v cos gamma) csc^2 gamma`. Otrzymujemy więc:
`H^2 = c^2 - v^2 - (y - v cos gamma)^2 csc^4 gamma sin^2 gamma`
Funkcje sinus i kosekans skracają się (bo `csc gamma =1/sin gamma`), zatem:
`H^2 = c^2 - v^2 - (y - v cos gamma)^2 csc^2 gamma`
Podnieśmy zawartość nawiasu do kwadratu:
`H^2 = c^2 - v^2 - (y^2 - 2vy cos gamma + v^2 cos^2 gamma) csc^2 gamma`
Zauważmy teraz, że `v/c = cos alpha`, zaś `y/c = cos beta`, skąd `v = c cos alpha` oraz `y = c cos beta`. Podstawiając te wartości, otrzymujemy:
`H^2 = c^2 - c^2 cos^2 alpha - (c^2 cos^2 beta - 2 c^2 cos alpha c cos beta cos gamma + c^2 cos^2 alpha cos^2 gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = (c^2 sin^2 gamma - c^2 cos^2 alpha sin^2 gamma - c^2 cos^2 beta + 2 c^2 cos alpha cos beta cos gamma - c^2 cos^2 alpha cos^2 gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 (sin^2 gamma - cos^2 alpha sin^2 gamma - cos^2 beta + 2 cos alpha cos beta cos gamma - cos^2 alpha cos^2 gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 (1 - cos^2 gamma - cos^2 alpha - cos^2 beta + 2 cos alpha cos beta cos gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 (1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma)`
`H = c csc gamma sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma)`
Metoda 3
Zauważmy, że odcinki `H, z, k` tworzą trójkąt prostokątny. Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy więc: `H^2 + z^2 = k^2` czyli `H^2 = k^2 - z^2`. Zauważmy także, że `k/c = sin beta` i `z/p = sin gamma`. Zatem `k = c sin beta` i `z = p sin gamma`. Podstawiamy:
`H^2 = c^2 sin^2 beta - p^2 sin^2 gamma`
`p = (v - y cos gamma) csc^2 gamma` (wyznaczone wyżej)
`H^2 = c^2 sin^2 beta - (v - y cos gamma)^2 csc^4 gamma sin^2 gamma`
`H^2 = c^2 sin^2 beta - (v - y cos gamma)^2 csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 sin^2 beta - (v^2 - 2vy cos gamma + y^2 cos^2 gamma) csc^2 gamma`
Zauważmy teraz, że `v/c = cos alpha`, zaś `y/c = cos beta`, skąd `v = c cos alpha` oraz `y = c cos beta`. Podstawiając te wartości, otrzymujemy:
`H^2 = c^2 sin^2 beta - (c^2 cos^2 alpha - 2 c^2 cos alpha cos beta cos gamma + c^2 cos^2 beta cos^2 gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = (c^2 sin^2 beta sin^2 gamma - c^2 cos^2 alpha + 2 c^2 cos alpha cos beta cos gamma - c^2 cos^2 beta cos^2 gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (sin^2 beta sin^2 gamma - cos^2 alpha + 2 cos alpha cos beta cos gamma - cos^2 beta cos^2 gamma)`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (sin^2 beta - sin^2 beta cos^2 gamma - cos^2 alpha + 2 cos alpha cos beta cos gamma - cos^2 beta cos^2 gamma)`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (sin^2 beta - cos^2 alpha + 2 cos alpha cos beta cos gamma - sin^2 beta cos^2 gamma - cos^2 beta cos^2 gamma)`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (sin^2 beta - cos^2 alpha + 2 cos alpha cos beta cos gamma - (sin^2 beta + cos^2 beta) cos^2 gamma)`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (1 - cos^2 beta - cos^2 alpha + 2 cos alpha cos beta cos gamma - cos^2 gamma)`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma)`
`H = c csc gamma sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma)`
Metoda 4
Zauważmy, że odcinki `H, u, l` tworzą trójkąt prostokątny. Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy więc: `H^2 + u^2 = l^2` czyli `H^2 = l^2 - u^2`. Zauważmy także, że `l/c = sin alpha` i `u/n = sin gamma`. Zatem `l = c sin alpha` i `u = n sin gamma`. Podstawiamy:
`H^2 = c^2 sin^2 alpha - n^2 sin^2 gamma`
`n = (y - v cos gamma) csc^2 gamma` (wyznaczone wyżej)
`H^2 = c^2 sin^2 alpha - (y - v cos gamma)^2 csc^4 gamma sin^2 gamma`
`H^2 = c^2 sin^2 alpha - (y - v cos gamma)^2 csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 sin^2 alpha - (y^2 - 2vy cos gamma + v^2 cos^2 gamma) csc^2 gamma`
Zauważmy teraz, że `v/c = cos alpha`, zaś `y/c = cos beta`, skąd `v = c cos alpha` oraz `y = c cos beta`. Podstawiając te wartości, otrzymujemy:
`H^2 = c^2 sin^2 alpha - (c^2 cos^2 beta - 2 c^2 cos alpha cos beta cos gamma + c^2 cos^2 alpha cos^2 gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = (c^2 sin^2 alpha sin^2 gamma - c^2 cos^2 beta + 2 c^2 cos alpha cos beta cos gamma - c^2 cos^2 alpha cos^2 gamma) csc^2 gamma`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (sin^2 alpha sin^2 gamma - cos^2 beta + 2 cos alpha cos beta cos gamma - cos^2 alpha cos^2 gamma)`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (sin^2 alpha - sin^2 alpha cos^2 gamma - cos^2 beta + 2 cos alpha cos beta cos gamma - cos^2 alpha cos^2 gamma)`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (sin^2 alpha - cos^2 beta + 2 cos alpha cos beta cos gamma - sin^2 alpha cos^2 gamma - cos^2 alpha cos^2 gamma)`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (1 - cos^2 alpha - cos^2 beta + 2 cos alpha cos beta cos gamma - (sin^2 alpha + cos^2 alpha) cos^2 gamma)`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (1 - cos^2 alpha - cos^2 beta + 2 cos alpha cos beta cos gamma - cos^2 gamma)`
`H^2 = c^2 csc^2 gamma (1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma)`
`H = c csc gamma sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma)`
***
Niezależnie od użytej metody otrzymujemy, że w równoległościanie dwuskośnym `H = c sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta)`, a w trójskośnym `H = c csc gamma sqrt(1 - cos^2 alpha - cos^2 beta - cos^2 gamma + 2 cos alpha cos beta cos gamma)`. Skoro `V = ahH`, a `h = b` w równoległościanie dwuskośnym i `h = b sin gamma` w równoległościanie trójskośnym, to:
Równoległościan ma sześć ścian, dwanaście krawędzi i osiem wierzchołków.
Równoległościan jest rodzajem pryzmatoidu i graniastosłupa (pojęcia te omówimy dalej). W języku angielskim równoległościan nosi nazwę parallelepiped. Równoległościan wydłużony to prolate parallelepiped, skrócony to oblate parallelepiped.
Rombościan lub romboedr to rodzaj równoległościanu, mający sześć identycznych ścian o kształcie rombów. Naturalnie wynika z tego, że wszystkie krawędzie bryły są tej samej długości `a`, a jej wysokość nie jest równa krawędzi. Ponadto wszystkie kąty ostre `alpha` między kawędziami są takie same. Rombościan powstaje z sześcianu, ale zupełnie inaczej niż wyżej omówione szczególne równoległościany: ze zmianą wysokości, ale bez zmiany długości krawędzi.
Boki rombościanu są rombami, każdy o polu `P_p = a^2 sin alpha`. Pole powierzchni całkowitej tej bryły wyraża zatem wzór:
`P = 6a^2 sin alpha`
Rombościan jest szczególnym przypadkiem równoległościanu trójskośnego, i najlepiej wyznaczyć wzór na jego objętość, upraszczając gotowy wzór dla równoległościanu. Można też wyprowadzić go w sposób taki, jak wyżej podano, z odpowiednimi uproszczeniami wynikającymi z równości krawędzi i równości kątów. Wzór podstawowy:
`V = ahH`
możemy przekształcić, korzystając z zależności `h = a sin alpha` oraz `H = a csc alpha sqrt(1 - 3 cos^2 alpha + 2 cos^3 alpha)`. Po podstawieniu otrzymujemy:
`V = a^3 sqrt(1 - 3 cos^2 alpha + 2 cos^3 alpha)`
Rombościan ma sześć ścian, dwanaście krawędzi i osiem wierzchołków.
Rombościan jest rodzajem pryzmatoidu, graniastosłupa (pojęcia te omówimy dalej) i równoległościanu (omówionego wyżej). W języku angielskim rombościan nosi nazwę rhombohedron. Rombościan wydłużony to prolate rhombohedron, rombościan skrócony to oblate rhombohedron.