Strona wykorzystuje JavaScript. Należy odczekać około 20 sekund, aby zapisy matematyczne stały się w pełni czytelne i przejrzyste.

This page uses JavaScript. Please wait ca. 20 seconds for maths formulas to become fully clear and readible.

Ramka nadrzędna

Grzegorz Jagodziński

O dziwach arytmetyki, jak IXI i cyfry ujemne

Uważam, że nauka rachunku pamięciowego i pisemnego jest bardzo cenna, nawet w dzisiejszych czasach, gdy kalkulatory i smartfony są na wyciągnięcie ręki. Oto kilka kluczowych argumentów, które przemawiają za tym:

Ćwiczenie umysłu - Wykonywanie obliczeń w pamięci lub na papierze wymaga uruchomienia procesów myślowych, takich jak koncentracja, logiczne rozumowanie i umiejętność abstrahowania. To ćwiczy mózg i poprawia ogólne zdolności kognitywne.

Lepsze zrozumienie koncepcji - Gdy uczniowie muszą samodzielnie wykonywać obliczenia, lepiej rozumieją podstawowe zasady matematyki, takie jak wartość pozycyjna, prawa działań arytmetycznych czy szacowanie wyników. To daje im głębsze zrozumienie, które nie ogranicza się tylko do mechanicznego korzystania z kalkulatora.

Niezależność i elastyczność - Umiejętność operowania liczbami bez pomocy urządzeń daje ludziom większą samodzielność i swobodę. Mogą oni szybko wykonywać proste obliczenia na przykład podczas zakupów, w pracy czy na co dzień, bez potrzeby sięgania po kalkulator.

Pewność siebie i usprawnienie myślenia - Gdy ktoś potrafi liczyć w pamięci, zyskuje poczucie pewności siebie i kompetencji matematycznych. To z kolei przekłada się na lepsze radzenie sobie z bardziej złożonymi problemami matematycznymi.

Przydatność w codziennym życiu - Umiejętność szacowania i wykonywania prostych obliczeń na pamięć jest przydatna w wielu sytuacjach życiowych, jak na przykład obliczanie reszty, szacowanie kosztów czy szybkie rozwiązywanie problemów logistycznych.

Oczywiście kalkulator to potężne narzędzie, które także warto umiejętnie wykorzystywać. Jednak uważam, że dbanie o podstawowe umiejętności rachunkowe przynosi wiele korzyści i powinno być integralną częścią edukacji matematycznej. To pozwala rozwijać kompetencje poznawcze, zwiększa pewność siebie i daje większą elastyczność w życiu codziennym.

Mam nadzieję, że te argumenty pomogły Ci w ujęciu tej kwestii. Jestem otwarty na dalszą dyskusję i chętnie odpowiem na dodatkowe pytania.

Cieszę się, że moje argumenty okazały się przydatne i trafiły do Pana. Umiejętność rachunku pamięciowego i pisemnego to rzeczywiście ważny element edukacji matematycznej, który nie powinien być lekceważony, pomimo powszechnej dostępności kalkulatorów.

Warto podkreślić, że korzystanie z kalkulatorów i innych narzędzi cyfrowych może być bardzo pomocne, ale nie powinno zastępować podstawowych umiejętności matematycznych. Idealne podejście łączy efektywne wykorzystanie technologii z solidnym opanowaniem podstaw arytmetycznych.

Jeśli ma Pan dodatkowe pytania lub chciałby poszerzyć tę dyskusję, proszę się nie krępować. Chętnie omówimy tę kwestię szczegółowiej lub przeanalizujemy inne aspekty edukacji matematycznej. Wymiana poglądów i argumentów jest zawsze cenna.

MATEMATYKA

W niższych klasach szkoły podstawowej uczymy się pamięciowo tabliczki mnożenia. A potem? Co jeszcze należy umieć na pamięć?

Przede wszystkim warto nauczyć się kolejnych potęg liczb aż do pierwszej przekraczającej .

Potęgi liczby 2:












Potęgi liczby 3:









Potęgi liczby 5:







Potęgi liczby 6:






Potęgi liczby 7:

Potęgi pominiętych liczb znajdziemy łatwo, wykorzystując znane już potęgi i . Np. .

Warto też nauczyć się na pamięć kwadratów, sześcianów i czwartych potęg kolejnych liczb naturalnych, aż do pierwszej przekraczającej (a dodatkowo , gdyż wartość tę poznaliśmy już, ucząc się potęg liczby ).

Kwadraty:


































Sześciany:













Czwarte potęgi:

Do rozwiązywania zadań z kombinatoryki przydaje się bardzo pamięciowa znajomość silni kolejnych liczb naturalnych. I podobnie jak poprzednio, warto opanować pamięciowo wszystkie kolejne wartości aż do pierwszej przekraczającej .

Silnie:

W zadaniach, w których pojawiają się trójkąty prostokątne, wypada znać na pamięć kilka pierwszych trójek pitagorejskich. Trójki takie tworzą długości boków trójkątów prostokątnych, będące liczbami całkowitymi. Największa z liczb w danej trójce to oczywiście długość przeciwprostokątnej (przeciwprostokątna zawsze jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego).

Trójki pitagorejskie:

Podane trójki nazywamy prostymi lub pierwotnymi, gdyż tworzące je liczby nie mają wspólnego dzielnika. Istnieją też trójki takie jak czy , które powstają z przemnożenia każdej z liczb tworzących trójkę prostą przez jakąś liczbę naturalną dodatnią większą niż . Np. to .

Mnożenie przez lizbę jednocyfrową
 

Strona główna

JAK MNOŻYĆ PRZEZ SIEBIE LICZBY DWUCYFROWE

Znajdowanie kwadratu jest szczególnym rodzajem mnożenia. Jeśli znamy na pamięć podane wyżej wartości, nie musimy niczego liczyć np. w przypadku , gdyż od razu znamy wynik .

Gdy mnożone liczby różnią się od siebie o 2, możemy zastosować wzór skróconego mnożenia . Np. . Oczywiście całe obliczenie można bez problemu wykonać w głowie.

Sposób ten da się niekiedy zastosować i dla większych liczb, spoza zakresu tych, których kwadraty umiemy na pamięć. Np. . Albo . Zauważmy, że zamiast mnożyć przez , podwajamy daną liczbę czterokrotnie, co jest łatwiejsze do policzenia w pamięci.

Metodę rozkładu na różnicę kwadratów można zastosować zawsze, gdy łatwo znaleźć średnią arytmetyczną mnożonych liczb. Np. . Ma to sens, jeśli każde z obliczeń umiemy wykonać pamięciowo. Jeśli mamy z tym problemy, bezpośrednie mnożenie metodą szkolną będzie szybsze i prostsze.

METODA IXI

IXI to taki proszek do prania… ale też metoda mnożenia liczb dwucyfrowych, najlepiej w głowie.

Pomnóżmy 57·49. Skomplikowane? Niekoniecznie. Możemy obliczenie robić w głowie, możemy też pisać.

Najpierw mnożymy ostatnie cyfry 7·9 = 63, zapisujemy 3, 6 w pamięci.

Mnożymy cyfry na krzyż: 5·9 = 45, 7·4 = 28, wyniki dodajemy: 45 + 28 = 73, do tego dodajemy 6 z pamięci: 73 + 6 = 79. Zapisujemy 9, 7 w pamięci.

Mnożymy pierwsze cyfry 5·4 = 20. Dodajemy 7 z pamięci.

Gotowy wynik to 2793

Mnożenie klasyczne jest dłuższe:

wyszło to samo

ARYTMETYKA CYFR UJEMNYCH

Matematyka to nie tylko praktyczne narzędzie do obliczeń, nie tylko trening umysłu. Czasem to po prostu dobra zabawa.

Ile jest cyfr? Nieskończenie wiele? Kto tak pomyślał, musi nad sobą popracować, naprawdę.

Cyfr (klasycznych) jest tylko dziesięć, i są to , , , , , , , , , . Koniec. to nie cyfra!

Z pewnych powodów można jednak pobawić się i wprowadzić cyfry ujemne. Będą to .

Zapis „klasyczny” oznacza . Ile zatem będzie oznaczać ? Oczywiście . A ile to jest? Ano . Czyli .

Ile to ? Oczywiście to . A ile to ? Jasne że . Podobnie to . Ale to . Dlaczego? Bo .

Cyfry ujemne dopełniają odpowiednie cyfry dodatnie (i odwrotnie) do dziesięciu. Dopełnieniem cyfry jest cyfra . Dopełnieniem cyfry jest .

Jeśli chcemy klasyczną liczbę zapisać z ujemną cyfrą jedności, musimy cyfrę dziesiątek zwiększyć o , np. , , , , .

Aby zamienić np. na zwykły zapis, zamiast cyfry ujemnej piszemy jej dopełnienie i jednocześnie cyfrę stojącą na lewo zmniejszamy o . Zatem .

Po co komu taka zabawa z liczbami? Cóż, jak to zabawa, dla rozrywki! A czasem dla ułatwienia obliczeń.

Ile to jest ? Trudno to policzyć w głowie. Spróbujmy więc zapisać nasze czynniki tak: , . Teraz mnożymy, pamiętając, że , bo iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni:

Łatwe? Tylko ile to jest tak normalnie? Poznaną zasadę zastosujemy od lewej strony. Mamy więc .

Sprawdźmy:

Wyniki uzyskane obiema metodami się zgadzają!

Działanie można wykonać jeszcze inaczej:

Jednak chyba najszybciej jest liczyć tak:

Do liczb z ujemnymi cyframi można zastosować metodę IXI. Zamiast mnożyć wprost , możemy zapisać . Jeśli cyfrę dodatnią zamienimy na dopełniającą ujemną, cyfrę stojącą na lewo od niej musimy zwiększyć o .

Mnożenie metodą IXI zaczynamy od strony prawej. Wykonujemy mnożenie , otrzymując ostatnią cyfrę wyniku. Drugi krok to mnożenie krzyżowe . Drugą od prawej cyfrą wyniku jest więc ujemna cyfra , a ujemną cyfrę przenosimy do następnego kroku. Ostatnia faza obliczeń to , nie zapomnijmy jednak, by do tego wyniku dodać (czyli ). Otrzymujemy więc , a cały wynik to . Zastępujemy ujemną cyfrę jej dopełnieniem , i jednocześnie zmniejszamy o cyfrę stojącą na lewo od niej. Stąd . Jest to ostateczny wynik naszego działania, zapisany w standardowy sposób.

Podobną metodą można łatwo znaleźć kwadrat liczby . Zapisujemy działanie jako . Działania metodą IXI dają kolejno:

,

,

,

stąd wynik to .

Przy wykonywaniu mnożenia warto unikać cyfr większych niż , bo przy mnożeniu mniejszych cyfr rzadziej występują przeniesienia utrudniające rachunek, zwłaszcza pamięciowy. Zamiast mnożyć np. przez , możemy przecież mnożyć przez . Metoda IXI, a nawet znane ze szkoły mnożenie w słupku, pozwoli łatwo otrzymać wynik , co po zamianie na standardowy zapis daje .

Rozwiążmy jeszcze zadanie znalezione w internecie: .

Najpierw oczywiście dodajemy liczby w nawiasie
zobaczcie, że gdyby do pierwszej dodać 1, a od ostatniej odjąć 1, wynik się nie zmieni
będzie wtedy 16 + 26 + 36
dalej, zauważcie, że 26 leży dokładnie pomiędzy 16 a 36
(zresztą leży dokładnie pośrodku między 15 a 37, ale to już trudniej dostrzec)
A to oznacza, że możemy dodać 26 + 26 + 26, a otrzymamy taki sam wynik
3 · 26 powinien każdy umieć policzyć w głowie
np. 3 · 20 + 3 · 6 = 60 +
Metoda jest dowolna, byle wyszedł taki wynik
BEZ KALKULATORA
zatem nasze zadanie polega na wymnożeniu 12 · 78
Można to zrobić w głowie metodą IXI
Metodę tę można stosować od lewej lub od prawej
Pokażę obie odmiany
Od lewej
W zapisie IXI mamy najpierw I, co sugeruje mnożenie 1 · 7, czyli cyfr dziesiątek
Wynik to oczywiście 7
Dopisujemy do niego w głowie dwa zera, zapamiętujemy liczbę 700
Kolejna litera w zapisie IXI to X, sugeruje ona mnożenie krzyżowe i dodanie wyników
Zatem 1 · 8 + 2 · 7
Daje to 8 + 14 czyli 22
Dopisujemy w głowie JEDNO zero
dostajemy 220
zapamiętujemy
lub od razu dodajemy w głowie do zapamiętanej liczby 700

zapamiętujemy wynik
W zapisie IXI mamy jeszcze I z prawej
sugeruje to mnożenie cyfr jedności, czyli 2 · 8
Wynik to 16
tym razem nie dopisujemy żadnych zer
Dodajemy do zapamiętanej liczby 920

i tyle właśnie wynosi wynik.
Metoda IXI od prawej jest... trudno powiedzieć czy prostsza, po prostu trochę inna
Mamy pomnożyć 12 · 78
zaczynamy od prawej
2 · 8 = 16, piszemy (w głowie lub na kartce od razu) 6, zapamiętujemy 1 („dalej”)
Teraz mnożenie krzyżowe

Dodajemy 1 z przeniesienia (to zapamiętane)

piszemy PRZED zapisaną cyfrą 6 cyfrę 3, zapamiętujemy 2 („dwa dalej”)

Nasz wynik to na razie .36 (nie wiemy co na początku)
Ostatnie mnożenie to 1 · 7 (lewe cyfry naszych liczb), co daje 7. Do tego dodajemy zapamiętane przeniesienie 2 i piszemy 9 na miejscu kropki
wynik: 936
Kto tak nie umie, niech się nauczy 😛
A pamiętacie zabawę z cyframi ujemnymi? Tego w szkole was nie nauczą...
Mniej jest tu przenoszenia, czyli mniej takich „dwa dalej”
Metoda jak metoda, jak kto woli, może się tak też nauczyć