Artykuł został opublikowany także na portalu JustPasteIt (dawniej Eioba).
Wersja z 2024-10-31

Związki logiczne

9

Logika wielowartościowa

W logice klasycznej za zdanie uważa się tylko takie stwierdzenie, któremu można przypisać jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę (1) lub fałsz (0). Stworzono jednak teorie, w których analizuje się także stwierdzenia, którym można przypisać inną wartość logiczną.

Logika trójwartościowa

W najprostszym wypadku do prawdy i fałszu dorzuca się stan pośredni, któremu przypisuje się umownie liczbową wartość ½. Wartość taką można interpretować na wiele sposobów. Autorem takiego trójwartościowego systemu logicznego był w latach dwudziestych XX wieku Jan Łukasiewicz. Określił on wartość pośrednią jako stan braku wiedzy lub niepewności.

Rozpatrzmy zdanie UFO istnieje, rozumiejąc pod pojęciem UFO statki kosmitów. Do niedawna wielu ludzi skłonnych było przyznawać temu zdaniu wartość logiczną fałszu (ignorując dowody i relacje świadków i twierdząc, że wszystko to błędne interpretacje, a często zwykłe oszustwa). Gdy jednak największe mocarstwo oficjalnie przyznało, że istnieją „zjawiska atmosferyczne”, których nie umiemy zinterpretować, należałoby raczej stwierdzić, że nie wiemy, czy rozpatrywane zdanie jest prawdziwe. Zgodnie z logiką tradycyjną należałoby przestać uznawać je za zdanie. A jednak… wolelibyśmy, by to jednak było zdanie logiczne, by miało ono jakąś wartość logiczną, tyle że na razie nie wiemy, jaką. Stąd pomysł, by przypisać mu logiczną wartość „półprawdy”.

Analizowanie nie dwóch, ale trzech wartości logicznych wymaga uściślenia definicji związków logicznych. Dopóki ich argumenty przybierają wartości prawdy (1) lub fałszu (0), dopóty stosować można tabelę wartości omówioną wyżej. Jednak gdy choć jeden z argumentów przybiera wartość pośrednią (½), wówczas nie jest oczywiste, jaką przyjmą one wartość logiczną. Dobrze jest wówczas posłużyć się jakąś formułą matematyczną, tak opracowaną, aby wynikiem jej zastosowania była zawsze jedna z możliwych wartości logicznych (w opisywanym wypadku 0, ½ albo 1).

I tak, dla negacji (~) przyjmuje się na ogół formułę 1 − x, gdzie x jest wartością logiczną negowanego zdania. Negacją prawdy jest więc, jak w logice dwuwartościowej, fałsz, a negacją fałszu prawda. Wartość pośrednia nie zmienia się, gdyż 1 − ½ = ½.

Za wartość logiczną koniunkcji (∧) uważa się najmniejszą spośród wartości jej argumentów. Taka definicja ma zastosowanie do związków zarówno typowych, dwuargumentowych (wówczas formuła przybiera postać min(x, y)), jak i do związków wieloargumentowych. Na przykład 1 ∧ ½ = ½, ½ ∧ ½ = ½, 1 ∧ ½ ∧ 0 = 0 (zamiast p, q, r podano od razu ich wartości logiczne).

Łukasiewicz rozpatrywał związek podobny do koniunkcji, który możemy nazwać koniunkcją Łukasiewicza. Różni się on sposobem zdefiniowania: wartości logiczne argumentów należy do siebie dodać, a od uzyskanej sumy odjąć liczbę o jeden mniejszą od ilości argumentów. Dla związku dwuargumentowego należy odjąć 1; tylko takie związki rozpatrywał Łukasiewicz. Jeśli wynik działania jest ujemny, jako ostateczną wartość przyjmujemy zero. Operacjom tym odpowiada (dla związków dwuargumentowych) formuła max(0, x + y − 1).

Dla związku tego stosuje się czasem wywodzący się z notacji Łukasiewicza symbol &, częściej używa się dziś krzyżyka w kółku: ⊗. A zatem na przykład 1 ⊗ 1 = 1 (bo 1 + 1 − 1 = 1), 1 ⊗ 0 = 0 (bo 1 + 0 − 1 = 0), 0 ⊗ 0 = 0 (bo 0 + 0 − 1 = − 1, więc przyjmujemy 0), 1 ⊗ ½ = ½ (bo 1 + ½ − 1 = ½), ½ ⊗ ½ = 0 (bo ½ + ½ − 1 = 0), 1 ⊗ ½ ⊗ 0 = 0 (bo 1 + ½ + 0 − 2 = -½, więc przyjmujemy 0). Zauważmy, że na ogół wartości obu typów koniunkcji są takie same; dla związków dwuargumentowych jedynie ½ ⊗ ½ ma inną wartość niż ½ ∧ ½.

Jako wartość logiczną alternatywy (∨) uważa się największą spośród wartości jej argumentów (dla związków dwuargumentowych: max(x, y)). Na przykład 1 ∨ ½ = 1, ½ ∨ ½ = ½, 1 ∨ ½ ∨ 0 = 1.

Alternatywa Łukasiewicza (oznaczana plusem w kółku, ⊕) została zdefiniowana jako suma wartości logicznej argumentów, przy czym wynik nie może być większy niż 1. Dla związku dwuargumentowego przedstawia to formuła min(1, x + y). A zatem na przykład 1 ⊕ 1 = 1 (bo 1 + 1 = 2, więc przyjmujemy 1), 1 ⊕ 0 = 1 (bo 1 + 0 = 1), 0 ⊕ 0 = 0 (bo 0 + 0 = 0), 1 ⊕ ½ = 1 (bo 1 + ½ = 1½, więc przyjmujemy 1), ½ ⊕ ½ = 1 (bo ½ + ½ = 1), 1 ⊕ ½ ⊕ 0 = 1 (bo 1 + ½ + 0 = 1½, więc przyjmujemy 1). Na ogół wartości obu typów alternatywy są takie same; dla związków dwuargumentowych jedynie ½ ⊕ ½ ma inną wartość niż ½ ∨ ½.

Bez problemu można zdefiniować kolejne dwa związki: dysjunkcję (|) oraz binegację / negację łączną (↓), jako negacje odpowiednio koniunkcji i alternatywy. Można także analogicznie zdefiniować dysjunkcję Łukasiewicza (⊘) i negację łączną Łukasiewicza (⊖), choć sam Łukasiewicz się nimi nie zajmował.

Ponieważ obok zwykłej koniunkcji czy alternatywy istnieją koniunkcja i alternatywa Łukasiewicza, więc wyróżnimy także dwa różne typy implikacji. Nie za bardzo wiadomo, czym miałaby być implikacja większej ilości zdań, dlatego też ograniczymy się tu wyłącznie do dwóch argumentów. Zauważmy, że klasyczna implikacja odpowiada alternatywie negacji zdania pierwszego oraz zdania drugiego: (p ⇒ q) ≡ (~p ∨ q). Wobec tego możemy wyznaczać wartość implikacji jako większą z liczb 1 − x, y, gdzie x i y to wartości logiczne odpowiednio poprzednika i następnika. Mamy więc na przykład 1 ⇒ 1 = 1 (porównujemy 1 − 1 oraz 1), 1 ⇒ 0 = 0 (1 − 1 oraz 0), 0 ⇒ 1 = 1 (1 − 0 oraz 1), 0 ⇒ 0 = 1 (1 − 0 oraz 0), 1 ⇒ ½ = ½ (1 − 1 oraz ½), ½ ⇒ 1 = 1 (1 − ½ oraz 1), ½ ⇒ ½ = ½ (1 − ½ oraz ½).

Implikacja Łukasiewicza, którą oznaczymy tutaj pojedynczą strzałką (→), definiowana jest jako alternatywa Łukasiewicza negacji zdania pierwszego oraz zdania drugiego: (p → q) ≡ (~p ⊕ q), a więc jako 1 − x + y, przy czym wynik nie może być większy od 1. Mamy więc na przykład 1 → 1 = 1 (bo 1 − 1 + 1 = 1), 1 → 0 = 0 (bo 1 − 1 + 0 = 0), 0 → 1 = 1 (bo 1 − 0 + 1 = 2, zatem przyjmujemy 1), 0 → 0 = 1 (bo 1 − 0 + 0 = 1), 1 → ½ = ½ (bo 1 − 1 + ½ = ½), ½ → 1 = 1 (bo 1 − ½ + 1 = 1½, zatem przyjmujemy 1), ½ → ½ = 1 (bo 1 − ½ + ½ = 1). Jak widać, jedynie ½ → ½ ma inną wartość niż ½ ⇒ ½.

Uznanie za (w pełni) prawdziwą implikacji, której zarówno poprzednik, jak i następnik jest niepewny (ma wartość logiczną ½) wydało się Łukasiewiczowi zgodne z intuicyjnym sposobem pojmowania implikacji. Skoro za prawdziwą uznaje się zarówno implikację o prawdziwym poprzedniku i prawdziwym następniku (1 → 1), jak i implikację o fałszywym poprzedniku i fałszywym następniku (0 → 0), to także implikacja, której oba argumenty są niepewne (½ → ½) powinna być prawdziwa. Implikacja definiowana w zwykły sposób nie spełnia tego warunku, i właśnie dlatego Łukasiewicz posłużył się specjalną odmianą alternatywy (a przy okazji i koniunkcji). W rezultacie ilość związków w logice trójwartościowej podwoiła się.

Równoważność można rozumieć jako koniunkcję implikacji prostej i odwrotnej: (p ⇔ q) ≡ ((p ⇒ q) ∧ (p ⇐ q)). Oczywiście i tutaj odróżnimy równoważność klasyczną oraz równoważność Łukasiewicza; do ich zdefiniowania posłużymy się odpowiednimi typami koniunkcji i implikacji. Dla równoważności klasycznej (⇔) otrzymamy na przykład 1 ⇔ 1 = 1, 1 ⇔ 0 = 0, 0 ⇔ 0 = 1, 1 ⇔ ½ = ½, ½ ⇔ ½ = ½. Wartość logiczną równoważności Łukasiewicza (↔) da się obliczyć bezpośrednio jako 1 − |x − y|. A zatem na przykład 1 ↔ 1 = 1 (bo 1 − |1 − 1| = 1 − 0 = 1), 1 ↔ 0 = 0 (bo 1 − |1 − 0| = 1 − 1 = 0), 0 ↔ 0 = 1 (bo 1 − |0 − 0| = 1 − 0 = 1), 1 ↔ ½ = ½ (bo 1 − |1 − ½| = 1 − ½ = ½), ½ ↔ ½ = 1 (bo 1 − |½ − ½| = 1 − 0 = 1).

Istnieje także inny sposób przedstawienia równoważności – jako alternatywy koniunkcji i binegacji: (p ⇔ q) ≡ ((p ∧ q) ∨ (p ↓ q)), co można także zapisać: (p ⇔ q) ≡ ((p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)). Jak łatwo sprawdzić, oba sposoby są w wypadku logiki trójwartościowej równoważne, drugi sposób pozwala jednak łatwo rozpatrywać równoważność więcej niż dwóch argumentów. Dla równoważności Łukasiewicza otrzymamy formułę: (p ↔ q) ≡ ((p ∧ q) ⊕ (~p ∧ ~q)); zastąpienie wewnętrznych zwykłych koniunkcji związkami Łukasiewicza nie doprowadzi do równoważności, gdyż ((½ ⊗ ½) ⊕ (~½ ⊗ ~½)) = ((½ ⊗ ½) ⊕ (½ ⊗ ½)) = (0 ⊕ 0) = 0, tymczasem (½ ↔ ½) = 1, i tak samo ((½ ∧ ½) ⊕ (~½ ∧ ~½)) = ((½ ∧ ½) ⊕ (½ ∧ ½)) = (½ ⊕ ½) = 1.

Różnica między oboma rodzajami równoważności uzasadnia wprowadzenie symbolu ≡ do zapisu formuł logicznych i używanie pojęcia identyczności (odpowiedniości) logicznej. Symbol ten informuje bowiem, że wyrażenia po obu jego stronach mają taką samą wartość logiczną. Znak równoważności natomiast o tym nie informuje, równoważność bowiem nie musi być prawdziwa. Jeśli zapiszemy p ⇔ q, i okaże się, że p = ½, to z faktu tego nie możemy wyciągnąć żadnych wniosków na temat q. Obojętnie bowiem, czy q = 1, q = ½ czy też q = 0, i tak równoważność p ⇔ q będzie miała taką samą wartość logiczną ½. Natomiast jeśli zapiszemy p ≡ q, wówczas dla p = ½ wiadomo będzie, że także q = ½, a nie 1 czy 0.

Ekskluzję (alternatywę rozłączną) zdefiniować można (w przypadku związków dwuargumentowych) jako negację równoważności. Oprócz ekskluzji klasycznej (⊻) rozpatrzymy również ekskluzję Łukasiewicza (⊽), której wartość logiczną możemy policzyć bezpośrednio jako wartość bezwzględną różnicy wartości logicznej obu argumentów (|x − y|).

Zwykle w dwuargumentowej logice trójwartościowej stosuje się tabele, w których wartości pierwszego argumentu (p) wypisuje się w pionie, a wartości drugiego argumentu (q) – w poziomie. Wartość logiczną danego związku odczytuje się w kratce leżącej w określonym wierszu i określonej kolumnie. Oto tabele pięciu podstawowych związków klasycznych:

A oto tabele dla dodatkowych związków Łukasiewicza:

Różni logicy proponowali inną interpretację wartości ½, a co za tym idzie inne matryce związków w logice trójwartościowej. I tak, Bochvar i Kleene zaproponowali, aby wartość ½ rozpatrywać jako stan błędu. Na tej podstawie stworzyli nowe związki słabej koniunkcji (p ∧₊ q), słabej alternatywy (p ∨₊ q) oraz słabej implikacji (p ⇒₊ q), obok zwykłych ich „silnych” odpowiedników; w terminologii Bochvara są to związki wewnętrzne. „Słabe” związki różnią się od zwykłych („silnych”) tym, że ich wartością jest stan błędu (½), gdy choć jeden z argumentów jest w takim właśnie stanie (np. 0 ∧ ½ = 0, ale 0 ∧₊ ½ = ½, podobnie ½ ⇒ 1 = 1, ale ½ ⇒₊ 1 = ½). Na podobnej zasadzie można utworzyć słabe odpowiedniki innych związków logicznych. Równoważność i ekskluzja w tej logice nie różnią się niczym od klasycznych.

Uwaga: w odniesieniu do logiki Bochvara i Kleenego panuje w źródłach niesamowite zamieszanie, por. np. Malinowski G., Many-Valued Logics, Oxford Science Publications, oraz artykuł Many-Valued Logic [w:] Stanford encyclopaedia of Philosophy z odwrotną terminologią związków słabych i silnych; w artykule tym podaje się ponadto 0 ⇒₊ ½ = 1, co jest informacją w najwyższym stopniu niewiarygodną.

A oto tabele związków słabych Kleenego, będących jednocześnie związkami wewnętrznymi Bochvara:

Bochvar wprowadził też związki „zewnętrzne”, których rezultatem nie może być stan błędu (½). W tej logice podwójne przeczenie nie odpowiada zdaniu wyjściowemu, ponadto obok negacji wprowadza się nowy związek jednoargumentowy: asercję, oznaczaną zwykle literą a. Oto tabele tych związków:

Istnieje także trójwartościowa logika Sobocińskiego, w której wartość ½ interpretowana jest jako „nieistotne” lub „nie dotyczy”. Wówczas ½ uzyskiwane jest jako rezultat tylko wtedy, gdy oba argumenty mają wartość ½. Oto tabele:

Zebranie wartości logicznej dwuargumentowych związków w logice trójwartościowej

(1 – prawda, ½ – jeszcze nie wiadomo, 0 – fałsz)

(1 – prawda, ½ – niepewność, 0 – fałsz)

(1 – prawda, ½ – błąd, 0 – fałsz)

(1 – prawda, ½ – nieistotne, 0 – fałsz)

Implikacja doczekała się jeszcze innych odmian w logice trójwartościowej. Gödel zaproponował, aby przyjmować, że implikacja jest prawdziwa (1), jeśli poprzednik nie ma większej wartości logicznej niż następnik (gdy x ≤ y). W przeciwnym wypadku (x > y) wartość logiczna implikacji byłaby taka sama jak wartość następnika. W porównaniu z implikacją klasyczną dostrzeżemy następujące różnice:

• ½ →_G ½ = 1 (jak u Łukasiewicza),
• ½ →_G 0 = 0 (a nie ½).

Gödel jest także autorem oryginalnej koncepcji negacji: negacją zdania fałszywego jest zdanie prawdziwe, każda inna negacja jest zdaniem fałszywym. Innymi słowy, negacja Gödla przybiera tylko dwie wartości, prawdy i fałszu.

Logika czterowartościowa

W najbardziej znanym modelu logiki tego typu (logika Dunna i Belnapa) przyjęto cztery następujące wartości:

• N – brak informacji (None),
• F – fałsz (False),
• T – prawda (True),
• B – informacje sprzeczne (Both).

Wartości tych nie da się przedstawić w postaci liczb, choć można je uporządkować: F jest wartością niższą niż N, ale także niższą niż B, wartość T jest natomiast wyższa niż N i B. Nie da się natomiast uporządkować względem siebie N i B. Spośród związków logicznych definiuje się negację, koniunkcję i alternatywę. Negacja zmienia prawdę i fałsz, ale pozostawia N i B. Wartości logiczne koniunkcji i alternatywy oblicza się jak w logice tradycyjnej – koniunkcja przybiera wartość niższą, natomiast alternatywa wyższą z wartości obu argumentów. Przy zbiegu N i B koniunkcja ma wartość F, natomiast alternatywa – T. Właściwości te prezentują tabele poniżej (pierwszy argument podano w lewej kolumnie, drugi w górnym wierszu).

Logika rozmyta

Tworzone są również systemy logiczne rozpatrujące nieskończenie wiele wartości logicznych zdań, a więc takie, w których są one dowolnymi liczbami rzeczywistymi z przedziału <0; 1>. Liczba ta może być interpretowana jako prawdopodobieństwo tego, że zdanie jest prawdziwe, a sama logika rozmyta staje się w zasadzie rachunkiem prawdopodobieństwa.

Wartość logiczna danego zdania i zdania z nim sprzecznego sumują się do jedności, stąd negację zdania o wartości logicznej x oblicza się z formuły 1 − x. Wartości logiczne związków w logice rozmytej oblicza się podobnie jak w logice trójwartościowej, istnieją też podobnie różnorodne odmiany związków. Uwagę zwracają kompromisowe sposoby obliczania wartości logicznych jako średnich arytmetycznych z wartości związków klasycznych i Łukasiewicza.

I tak, wartość logiczną koniunkcji oblicza się, mnożąc wartości argumentów (xy), czyli prawdopodobieństw tego, że zdania p i q są prawdziwe. Powinniśmy jednak bezwzględnie założyć podobnie jak w rachunku prawdopodobieństwa, że zdarzenia, o których mowa w zdaniach składowych, są niezależne, to znaczy prawdopodobieństwo zajścia każdego z nich nie zależy od tego, czy zaszło to drugie (w logice klasycznej problem ten nie istnieje, bo tam badamy fakty, a nie przypuszczenia obarczone określonym stopniem niepewności). Wówczas np. ½ ∧ ½ = ¼; wartość ta jest średnią wartości koniunkcji klasycznej (½) i koniunkcji Łukasiewicza (0). Łatwo sprawdzić, że dla innych układów wartości 0, ½, 1 otrzymujemy wynik taki sam jak w koniunkcji klasycznej.

Zgodnie z drugim prawem de Morgana zaprzeczenie alternatywy odpowiada koniunkcji zaprzeczeń: ~(p ∨ q) ≡ (~p ∧ ~q), z czego wynika, że alternatywa jest zaprzeczeniem koniunkcji zaprzeczeń: (p ∨ q) ≡ ~(~p ∧ ~q). Pamiętając, że jeśli zdanie p ma wartość x, to zdanie ~p ma wartość 1 − x, otrzymamy wyrażenie na obliczanie alternatywy: 1 − (1 − x)(1 − y). Jak nietrudno policzyć, jest ono równe x + y − xy, a zatem wartość logiczną alternatywy oblicza się dodając wartości argumentów, a następnie od wyniku odejmując ich iloczyn. Wówczas np. ½ ∨ ½ = ¾, ponieważ ½ + ½ − ½·½ = 1 − ¼ = ¾. Podobnie jak w przypadku koniunkcji, otrzymana wartość jest średnią arytmetyczną wartości alternatywy klasycznej (½) i Łukasiewicza (1).

Otrzymany wzór można też uzasadnić w inny sposób. Alternatywa jest bowiem mocą sumą mnogościową prawdziwości obu zdań, rozumianej jak zbiory w teorii mnogości. Aby obliczyć jej wartość, należy dodać prawdopodobieństwo zdania p (oznaczaną x) do prawdopodobieństwa zdania q (czyli y), ale w ten sposób dwukrotnie policzymy prawdopodobieństwo wspólnej części tych zdań, czyli sytuacji, gdy oba są jednocześnie prawdziwe. Współprawdziwość to przecież inaczej koniunkcja, czyli relacja obliczana jako iloczyn xy. Zatem od sumy prawdopodobieństw obu zdań należy jeszcze odjąć ich iloczyn: x + y − xy.

Bez problemu można ustalić wzór na wartość logiczną binegacji, czyli zaprzeczenia alternatywy: 1 − x − y + xy. Binegacja jest też koniunkcją zaprzeczeń: (1 − x)(1 − y), co po uproszczeniu również daje 1 − x − y + xy.

Dysjunkcję możemy rozumieć jako zaprzecznie koniunkcji, co daje 1 − xy. Relację tę można też rozumieć jako alternatywę zaprzeczeń. W takim przypadku jej wartość podlegałaby formule (1 − x) + (1 − y) − (1 − x)(1 − y). Daje ona 2 − x − y − (1 − x − y + xy) czyli 2 − x − y − 1 + x + y − xy i ostatecznie 1 − xy, czyli to samo co przy rozumieniu jako zaprzeczenia koniunkcji.

Implikacja w logice klasycznej jest prawdziwa, gdy poprzednik jest fałszywy lub następnik prawdziwy, czyli odpowiada alternatywie negacji poprzednika oraz następnika, zatem zgodnie z wzorem na wartość alternatywy obliczymy wartość implikacji jako (1 − x) + y − (1 − x)y. Po uproszczeniu otrzymamy łatwo akceptowalną formułę 1 − x + xy. Zgodnie z nią np. ½ ⇒ ½ = ¾, ponieważ 1 − ½ + ½·½ = ½ + ¼ = ¾. Raz jeszcze wynik okazuje się średnią arytmetyczną wartości implikacji klasycznej (½) i Łukasiewicza (1).

I tym razem możemy odwołać się do teorii mnogości, by znaleźć inne uzasadnienie tego wzoru. Implikacja jest bowiem fałszywa tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy, zatem nie obejmuje wyłącznie zawartości tej części zbioru p, która nie zawiera elementów wspólnych ze zbiorem q. Ta zawartość to x − xy. Liczbę tę trzeba odjąć od 1, co daje ostatecznie 1 − x + xy.

Zauważmy, że łatwo otrzymamy formułę dla implikacji odwrotnej, podstawiając y za x i odwrotnie: 1 − y + xy. Prostymi wzorami wyrażać się będzie negacja implikacji prostej (x − xy) i negacja implikacji odwrotnej (y − xy).

Problem pojawia się w logice rozmytej przy próbie znalezienia formuły do obliczania prawdopodobieństwa równoważności. Gdyby relację tę rozumieć jako biimplikację, czyli koniunkcję implikacji prostej i odwrotnej, mielibyśmy (1 − x + xy)(1 − y + xy), czyli 1 − x − y + xy(3 − x − y + xy). Gdyby jednak określić równoważność jako alternatywę koniunkcji obu zdań i koniunkcji ich negacji, wówczas formuła przybierze postać 1 − (1 − xy)(1 − (1 − x)(1 − y)) czyli 1 − x − y + xy(1 + x + y − xy), a jej wartości w ogólnym przypadku będą inne niż wtedy, gdy zastosujemy pierwszą formułę. Dla przykładu gdy wartości logiczne każdego ze zdań wynoszą ½, pierwsza formuła daje wynik 9⁄16, a druga 7⁄16. Żaden z nich nie wygląda na oczywisty i akceptowalny. Musimy więc naruszyć klasyczne prawa logiki i przyznać, że w logice rozmytej równoważność nie jest koniunkcją implikacji prostej i odwrotnej, a także że równoważność nie jest alternatywą koniunkcji obu zdań i koniunkcji ich negacji. W najlepszym razie musielibyśmy odrzucić przynajmniej jedno z tych praw, bo ich jednoczesne stosowanie prowadzi do różnych wyników.

Można by przyjąć, że ostateczna wartość równoważności jest średnią arytmetyczną liczb obliczonych według obu wyprowadzonych formuł, i wówczas dla sytuacji ½ ⇔ ½ otrzymalibyśmy w pełni akceptowalny wynik ½. Lepiej jednak potraktować równoważność jako sytuację, gdy oba zdania są jednocześnie prawdziwe lub oba zdania są jednocześnie fałszywe. Możemy równie dobrze odwołać się ponownie do teorii mnogości. Równoważność oznacza bowiem łącznie obszary poza zbiorami p i q (oba zdania są fałszywe) oraz wspólną ich część (oba zdania są prawdziwe). Przy takim podejściu równoważność jest sumą binegacji i koniunkcji: (1 − x − y + xy) + (xy), co po uproszczeniu daje dość prostą formułę 1 − x − y + 2xy.

Identyczne problemy napotkamy przy analizie alternatywy rozłącznej, czyli ekskluzji. Jest ona zaprzeczeniem równoważności, można by więc zastosować dla niej formułę wynikającej z pierwszej formuły dla równoważności: 1 − (1 − x + xy)(1 − y + xy) czyli x + y − xy(3 − x − y + xy). Można by też zastosować formułę wynikającą z formuły drugiej: 1 − (1 − xy)(1 − (1 − x)(1 − y)) czyli x + y − xy(1 + x + y − xy). Jednak najrozsądniej jest odwołać się znów do teorii mnogości i popatrzeć na alternatywę rozłączną jak na różnicę symetryczną zbiorów, tj. sumę tych ich części, które są dla nich wyłączne (obejmują obszar należący do jednego zbioru, ale nie do drugiego). Otrzymamy wówczas (x − xy) + (y − xy), co daje x + y − 2xy i jest w pełni zgodne z ostatecznie przyjętym wzorem na równoważność.

W logice rozmytej zdania ze spójnikiem może… może… nie mają charakteru tautologii, o ile można oszacować, na ile prawdopodobne jest zajście każdego z wyszczególnionych wydarzeń. Istotny staje się też użyty między tymi zdaniami dodatkowy spójnik logiczny (i, lub itd.). Np. zdanie zawierające przewidywanie wyniku jednokrotnego rzutu symetryczną sześcienną kostką: może wypadnie liczba podzielna przez trzy lub może wypadnie liczba podzielna przez dwa ma charakter tautologii w logice klasycznej, ale alternatywy w logice rozmytej. W logice klasycznej jest to zawsze zdanie prawdziwe, natomiast w logice rozmytej jesteśmy w stanie dokładnie obliczyć, na ile prawdopodobne jest zajście takiego zdarzenia. Prawdopodobieństwo wypadnięcie liczby podzielnej przez trzy wynosi bowiem 1/3, a prawdopodobieństwo wypadnięcia liczby parzystej wynosi 1/2. Obliczamy zatem: 1/3 + 1/2 − 1/3 · 1/2 = 2/6 + 3/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3, i „na tyle prawdziwe” jest właśnie całe wypowiedziane zdanie.

Obliczanie „stopnia prawdziwości” (czyli faktycznie prawdopodobieństwa) zdań złożonych połączonych spójnikami logicznymi w podany wyżej sposób ma sens tylko w jednym wypadku: gdy zdarzenia te są niezależne (od siebie). Dzieje się tak tylko wówczas, gdy ewentualne zajście jednego ze zdarzeń w żaden sposób nie wpływa na drugie zdarzenie. Przeanalizujmy wypowiedź jutro wybiorę się do zoo, może pojadę do Chorzowa lub może pojadę do Krakowa. W logice klasycznej zdanie to ma charakter tautologii. W logice rozmytej musimy znać wartość logiczną każdego ze zdań składowych, równą prawdopodobieństwu spełnienia się zdarzeń, o których mowa. Nie zawsze wiadomo, jak oszacować to prawdopodobieństwo. Jeśli osoba wypowiadająca analizowane stwierdzenie już wcześniej stawała przed takim dylematem i podejmowała decyzje, na ich podstawie możemy ustalić prawdopodobieństwo dokonania wyboru. Może się jednak okazać, że choć w 60% wypadków osoba ta wybierała wycieczkę do Krakowa, a w 40% do Chorzowa, to jednak nie zdarzyło się w ogóle, by odwiedziła oba ogrody zoologiczne jednego dnia. Wycieczka do jednego z wymienionych miast i zwiedzanie tamtejszego zoo zabiera przecież czas i generuje zmęczenie, więc szansa odwiedzenia obu jednego dnia jest praktycznie zerowa.

Można by więc rzec, że wypowiedziane zdanie ma w istocie charakter alternatywy rozłącznej, a nie zwykłej. Co jednak w sytuacji, gdy osobie tej mimo wszystko raz w przeszłości udało się odwiedzić oba ogrody zoologiczne tego samego dnia? Przypuśćmy, że do tej pory 6 razy odwiedziła zoo krakowskie, a 5 razy śląskie, i łącznie podejmowała decyzję 10, a nie 11 razy. Wartość logiczna zdania może pojadę do krakowskiego zoo wynosiłaby zatem w logice rozmytej 0,6, natomiast wartość logiczna zdania może pojadę do śląskiego zoo wynosiłaby 0,5. Obliczona na tej podstawie wartość logiczna koniunkcji obu zdań (0,6 · 0,5 = 0,3) byłaby niepoprawna, bo byłoby to niezgodne z faktami (osoba, o której mowa, tylko raz na 10 wybrała się do obu ogrodów). Jak zatem zinterpretować wynik obliczeń 0,6 + 0,5 − 0,6 · 0,5 = 1,1 − 0,3 = 0,8? Najprościej tak, że zdania składowe opisują zdarzenia zależne od siebie. Można by też powiedzieć, że w istocie wypowiedziane zdanie nie było w pełni alternatywą prostą i miało też „pewne cechy” ekskluzji. W logice rozmytej jak widać rozmywa się także charakter spójników logicznych.

Jeszcze lepiej widać to w wypadku, gdy osoba wypowiadająca analizowane zdanie w przeszłości miała okazję podejmować decyzję dziesięć razy, przy tym odwiedziła krakowskie zoo pięć razy, chorzowskie zoo także pięć razy, raz udało jej się odwiedzić oba ogrody tego samego dnia, a raz mimo zapowiedzi została w domu. Można by więc założyć, że w takim wypadku jej wypowiedź miała częściowo charakter alternatywy zwykłej (pojadę do Chorzowa lub do Krakowa), częściowo ekskluzji (pojadę albo do Chorzowa, albo do Krakowa), a częściowo dysjunkcji (pojadę co najwyżej do Chorzowa bądź do Krakowa). Można by nawet obliczyć wartość logiczną wypowiedzi tej osoby z podanych wzorów, jeśli mielibyśmy ją rozumieć na jeden z tych trzech sposobów (alternatywa: 0,5 + 0,5 − 0,5 · 0,5 = 0,75, ekskluzja: 0,5 + 0,5 − 2 · 0,5 · 0,5 = 0,5, dysjunkcja: 1 − 0,5 · 0,5 = 0,75). Zauważmy jednak, że równie dobrze można by policzyć, „w jakim stopniu” wypowiedź ta, wbrew formie, oznaczała binegację (0,25), równoważność (0,5), a nawet implikację (z uwagi na to, że osoba ta tyle samo razy wyjeżdżała do każdego z miast będzie to 1 − 0,5 + 0,5 · 0,5 = 0,75 niezależnie od kierunku implikacji), tyle tylko, że obliczenia te bazują na założeniu, że oba zdarzenia są niezależne, tymczasem wiadomo już, że to nieprawda. Zamiast iloczynu xy = 0,25 należałoby więc każdorazowo przyjąć rzeczywiste prawdopodobieństwo wyjazdu do obu ogrodów tego samego dnia, które wyniosło w tym wypadku 0,1. Otrzymalibyśmy wówczas całkiem inne wyniki (alternatywa: 0,5 + 0,5 − 0,1 = 0,9, ekskluzja: 0,5 + 0,5 − 2 · 0,1 = 0,8, dysjunkcja: 1 − 0,1 = 0,9, binegacja: 1 − 0,5 − 0,5 + 0,1 = 0,1, równoważność: 1 − 0,5 − 0,5 + 2 · 0,1 = 0,2, implikacja: 1 − 0,5 + 0,1 = 0,6). Są one znacznie bardziej akceptowalne niż te obliczone mechanicznie ze wzorów.

Podsumowując, w przypadku braku niezależności zdarzeń, o których mowa w zdaniu logicznym, nie ma sensu stosować podanych wzorów bez modyfikacji. Trzeba uwzględnić rzeczywiste prawdopodobieństwo koniunkcji zdarzeń i przyjąć tę wartość zamiast mnożenia wartości logicznych zdań składowych. Wydaje się także, że nie powinno się dokonywać reinterpretacji wypowiedzi, której prawdziwość oceniamy. Jeśli ma ona formę alternatywy (użyty został spójnik lub), to jedyne, co możemy zrobić, to ocenić wartość logiczną tej alternatywy. W pierwszym omawianym przypadku (6 wycieczek do Krakowa, 5 do Chorzowa, w tym 1 wycieczka do obu tych miast) zdanie okazałoby się wówczas alternatywą w pełni prawdziwą (0,6 + 0,5 − 0,1 = 1). W drugim przypadku (5 razy Chorzów, 5 Kraków, 1 oba) moglibyśmy jedynie powiedzieć, że wypowiedziana alternatywa jest prawdziwa w 90% i dodać, że jest to tylko szacunek dokonany na podstawie zdarzeń, które dotąd miały miejsce.

Pamiętajmy przy tym, że oznacza to jedynie szacowanie wartości logicznych w sytuacji, gdy nie możemy zastosować (z braku danych) logiki klasycznej. Gdy bowiem osoba zapowiadająca wyjazd do zoo już podejmie decyzję, dalsze stosowanie logiki rozmytej nie będzie uzasadnione. Będziemy bowiem w stanie ustalić, czy zdania składowe (pojadę do Chorzowa, pojadę do Krakowa) okazały się (w pełni) prawdziwe czy fałszywe.

Jeśli w logice rozmytej dopuścimy związki wielu argumentów, formułą dla koniunkcji pozostanie iloczyn ich wartości logicznej (o ile założymy niezależność zdarzeń, o których mowa). Formułę dla alternatywy znajdziemy wówczas jak wyżej, z drugiego prawa de Morgana, podobnie łatwo ustalimy wzory dla dysjunkcji i negacji łącznej. Dla związków trzech argumentów formuły te przedstawiają się następująco:

• koniunkcja: xyz,
• alternatywa: 1 − (1 − x)(1 − y)(1 − z),
• dysjunkcja: 1 − xyz,
• negacja łączna: (1 − x)(1 − y)(1 − z).

Różne systemy logiczne a logika uniwersalna

Istnienie różnych systemów logicznych, często – jak się wydaje – sprzecznych ze sobą, jest zdaniem pewnych ludzi dowodem na to, że tak naprawdę świat nie jest logiczny albo kieruje się inną logiką niż ta, którą stworzył człowiek. Tego rodzaju stwierdzenia w opinii ich autorów dowodzą jakoby głębokiego zrozumienia istoty logiki.

Tymczasem jest zupełnie inaczej. Upieranie się przy tym, że rzeczywistość nie opiera się na logice, albo że można ją opisywać w zupełnie dowolny sposób, jest w rzeczywistości dowodem bardzo płytkiego rozumienia logiki, a może nawet niezdolności do zrozumienia istoty zróżnicowania systemów logicznych. Tak naprawdę bowiem rzeczywistość kieruje się jedną jedyną, uniwersalną logiką, i nie ma nawet najmniejszej możliwości, by pojmować ją przy pomocy „logiki alternatywnej”, cokolwiek miałoby to oznaczać.

Skąd zatem zróżnicowanie systemów logicznych? Otóż stąd, że nasza wiedza o świecie nie jest pełna. Dwuwartościowa logika klasyczna ma zastosowanie tylko wówczas, gdy każdemu analizowanemu stwierdzeniu da się z absolutną pewnością przypisać wartość logiczną prawdy lub fałszu. Różne systemy logiki wielowartościowej stanowią natomiast próbę poszerzenia analizy logicznej także na te wypadki, gdy nie mamy pełnej wiedzy o prawdziwości analizowanych zjawisk. Często jest tak, bo wiedzy takiej dotąd nie zdobyliśmy, bywa też tak, że nie jest ona w ogóle możliwa do zdobycia. Czasami zjawiska nie mają charakteru ściśle zdeterminowanego, i zawierają w sobie z natury element losowości. Wówczas przypisanie pewnym stwierdzeniom wartości prawdy bądź fałszu nie jest możliwe. Wreszcie zdarza się, że złożone zjawiska można opisywać jako częściowo prawdziwe (częściowo fałszywe), i takie właśnie podejście ułatwia ich analizę.

Logika klasyczna zatem była, jest i będzie uniwersalna w ściśle określonych warunkach – dopóki analizuje stwierdzenia jednoznacznie prawdziwe lub jednoznacznie fałszywe. Różne systemy logiki wielowartościowej nie stanowią więc dla niej żadnej alternatywy. Po prostu opracowano je po to, by w ogóle móc zastosować logikę w sytuacjach, gdy podany warunek nie jest spełniony. Warto przy tym zauważyć, że także przy zastosowaniu różnego rodzaju „logiki alternatywnej”, dopóki mamy do czynienia wyłącznie z prawdą i fałszem, dopóty wyniki analizy są dokładnie takie same, jak przy zastosowaniu logiki klasycznej. Wszelkie zaś rozbieżności teoretyczne dotyczą jedynie sytuacji, gdy warunki stosowania tejże logiki nie są zachowane (a więc gdy analizujemy zdania, którym przypisuje się wartość logiczną inną niż 0 lub 1).

Linki

• Serwis matematyczny: logika
• Logika u podstaw
• Program sprawdzający tautologiczność formuł zdaniowych rachunku zdań
• The Propositional Logic Calculator

Pozycje drukowane zostały wyszczególnione w wykazie literatury.